Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Малюнок № 7.11. Фігури Ф і F.

У наведених нами міркуваннях і означеннях застосовується термін “площа”, але його визначення відсутнє. Визначаючи поняття довжини, ми використовували її для характеристики лінійної протяжності. Поняття площі будемо використовувати для характеристики квадровності геометричних фігур. Так само, як і для довжини використаємо аксіоматичний підхід до введення поняття площі.

Означення: площею фігури називається невід’ємна скалярна величина, яка характеризує міру квадровності фігури та визначена для кожної фігури так, що виконуються наступні аксіоми:

1. У множині М геометричних фігур існує нульовий квадрат k0 такий, що m(k0)=0 (символічно ця аксіома запишеться так: ([($k0єМ)(m(k0)=0)]).

2. У множині М існує одиничний квадрат k такий, що m(k)=1, яким можна виміряти площу будь-якої фігури (символічно ця аксіома запишеться так: ([($kєМ)(m(k)=1)]).

3. Рівні фігури мають рівні площі (символічно ця аксіома запишеться так: ([("F,GєM)((F=G)↔ (mk(F)=mk(G))]).

4. Якщо фігура F складається із скінченного числа фігур F1, F2, F3,...Fn, які не мають спільних внутрішніх точок, то площа фігури Fдорівнює сумі площ фігур F1,F2,F3,...Fn (символічно: [("F,F1,F2,F3,...,FnєM)((F=F1+F2+F3+...+Fn)↔ (mk(F)=mk(F1)+mk(F2)+mk(F3)+...+mk(Fn))]).

 

Для того, щоб виміряти площу фігур Ф і F, слід підрахувати число квадратів певного рангу. На практиці для цього використовують палетку, яка являє собою прозору плівку розбиту на одиничні квадрати. Поклавши палетку на геометричну фігуру, підраховуємо число квадратів та визначаємо площу. Так само, як і при безпосередньому вимірюванні довжини, процес підрахунку може бути або скінченним, або нескіченним. У першому випадку міра площі виражатиметься невід’ємним раціональним числом, а в другому – невід’ємним ірраціональним числом. Цілком зрозуміло, що щоразу визначати площу геометричної фігури безпосереднім підрахунком числа квадратів певного рангу дуже незручно, а тому в математиці для визначення площі певних геометричних фігур вивели формули для знаходження площі. Перед тим, як познайомитися з цими формулами, розглянемо кілька потрібних для їх виведення понять.

Означення: два многокутника називаються рівновеликими, якщо вони мають рівні площі.

Зазначимо, що рівновеликі многокутники не завжди рівні, наприклад: маємо два прямокутники із сторонами 2 см і 6 см та 3 см і 4 см. Хоча площі обох многокутників дорівнюють 12 см2, але вони не рівні. Розглянемо питання про те, чи можна за допомогою перетворення многокутників встановити їхню рівновеликість. Виявляється, що це завдання розв’язується позитивно. Таким геометричним еквівалентом є поняття рівноскладеності геометричних фігур.

Означення: два многокутника називаються рівноскладеними, якщо їх можна розкласти на одне й те саме число попарно рівних многокутників.

З’ясуємо, які властивості має відношення рівноскладеності. Оскільки кожний многокутник рівноскладений сам з собою, то відношення рівноскладеності рефлексивне. Якщо многокутник М1 рівноскладений многокутнику М2, то і многокутник М2 рівноскладений з многокутником М1. Отже, відношення рівноскладеності має властивість симетричності. Якщо многокутник М1 рівноскладений з многокутником М2, а многокутник М2 рівноскладений з многокутником М3, то многокутники М1 і М3 – рівноскладені. Отже, відношення рівноскладеності транзитивне. Таким чином, відношення рівноскладеності на множині многокутників є відношенням типу еквівалентності, бо має властивості рефлексивності, симетричності та транзитивності. За допомогою цього відношення множина всіх многокутників розбивається на класи еквівалентності, до кожного із яких відносяться рівноскладені між собою многокутники. Виявляється, що між відношеннями рівновеликості та рівноскладеності многокутників існує зв’язок, який зафіксовано в наступних теоремах.

Теорема 1: будь-які два рівноскладені многокутники рівновеликі.

Доведення:

Розглянемо два рівноскладені многокутники М і К. Відповідно до означення вони розкладуться на однакове число попарно рівних частин: М=М123+...+Мn і К=К123+...+Кn. Знайдемо площі многокутників М і К. S(М)=S(М1)+S(М2)+S(М3)+...+S(Мn) і S(К)=S(К1)+S(К2)+S(К3)+...+S(Кn). Оскільки многокутники М1, М2, М3,...,Мn і К1, К2, К3,...,Кn попарно рівні, то S(М1), S(М2), S(М3),...,S(Мn) і S(К1), S(К2), S(К3),...,S(Кn) – попарно однакові, а тому S(М)=S(К). Теорему доведено.

Теорема 2: будь-які два рівновеликі многокутники рівноскладені.

Доведення цієї теореми опустимо, бо воно аналогічне до попередньої. Зазначимо, що обидві теореми можна об’єднати в одну: “Для того, щоб будь-які два многокутники були рівновеликими, необхідно і достатньо, щоб вони були рівноскладеними”. Доведені і сформульовані теореми нададуть можливість значно спростити обґрунтування формул для обчислення площ окремих видів многокутників.

Оскільки основною одиницею вимірювання довжини у системі “SI” є 1 м, то основною одиницею вимірювання площі є 1 кв. м або 1 м2. Похідними одиницями вимірювання площі є наступні одиниці: 1 кв. дм (дм2)=0,01 м2=100 см2; 1 кв. см (см2)=0,0001 м2=100 мм2; 1 кв. мм (мм2)=0,000001 м2; 1 квадратний декаметр або 1 ар (а)=100 м2=0,01 га; 1 квадратний гектометр або 1 гектар (га)=10000 м2; 1 кв. км (км2)=1000000 м2. Аналогічно можна ввести позначення старовинних мір площі та встановити їхні співвідношення із сучасними мірами площі.

 


Читайте також:

  1. В якій камері утворюється малюнок у сирі швейцарському?
  2. Малюнок 7.2.1. Етап проектування.
  3. Малюнок № 1.15. А\В. Малюнок № 1.16. В\А.
  4. Малюнок № 1.19. Задання декартового добутку множин за допомогою графа.
  5. Малюнок № 1.2. Круг Л.Ейлера.
  6. Малюнок № 1.20. Граф відповідності.
  7. Малюнок № 1.5. Відношення перетину.
  8. Малюнок № 5.2.
  9. Малюнок № 6.1. Графік рівняння кола.
  10. Малюнок № 6.3.
  11. Малюнок № 6.4.
  12. Малюнок № 7.1.




Переглядів: 1230

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Малюнок № 7.10.. Квадрати нульового рангу. | Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.005 сек.