А зараз використовуємо метод індукції для доказу того, що сума перших n позитивних цілих чисел рівна . Якщо n = 1, то, тобто одиниця володіє вказаною властивістю. Припустимо|передбачимо|, що сума перших n – 1 натуральне число також володіє цією властивістю, тобто вона рівна: . Додавши до цієї суми число n, одержимо|отримаємо|:
.
Таким чином, сума перших n позитивних цілих чисел також володіє вказаною властивістю. Таким чином|значить|, ми можемо стверджувати, що дана формула справедлива для будь-якого натурального n.
Необхідно відмітити|помітити|, що метод індукції дозволяє перевіряти вже відомі формули, але|та| не дозволяє виводити нові формули. Для отримання|здобуття| нових формул доводиться напружувати творчі здібності. Приведемо наступний|такий| історичний приклад|зразок|.
Карл Фредерік Гаус (1777-1855), один з найбільш великих математиків всіх часів і народів, вчився в початковій школі, коли його вчитель|учитель| задав класу завдання|задачу| підсумувати всі цілі числа від 1 до 1000, він розраховував на час відпочинку, поки|доки| його учні будуть зайняті|позичені,посісти| справою|річчю|. Як же було його здивування|подив|, коли Гаус майже миттєво одержав|отримав| правильну відповідь! Його рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| було дуже простим: підсумовуючи перше число з|із| останнім, він одержав|отримав| 1 + 1000 = 1001; підсумовуючи друге з|із| передостаннім: 2 + 999 = 1001 і т.д. Всього сум, рівних 1001, вийшли п'ятсот. Таким чином, відповідь рівна: 500 · 1001 = 1000 · 1001/2 = 500500.