Диференціальні рівняння руху – це рівняння, які містять похідні та описують рух заданої матеріальної точки.
Вигляд указаних рівнянь залежить від способу описування руху. Нехай матеріальна точка має масу т і рухається під дією сили . Розглянемо векторний, координатний і натуральний способи описування руху.
А) Диференціальне рівняння руху матеріальної точки у векторній формі має вигляд:
.
При розрахунках це рівняння розглядають разом із початковими умовами руху, які визначають початкове положення і початкову швидкість точки.
Початкові умови руху точки у векторній формі мають вигляд:
, .
(початкове положення) (початкова швидкість)
Щоб отримати указане диференціальне рівняння, враховуємо, що при векторному способі описування руху положення матеріальної точки М відносно інерціальної системи відліку визначають за допомогою радіуса-вектора , а її прискорення визначають за формулою
.
Враховуємо також, що сила , яка діє на точку М, у загальному випадку може залежати від часу t, радіуса-вектора і швидкості , тобто .
Отже, за основним законом динаміки отримаємо:
=> => .
Зазначимо, що указане диференціальне рівняння має другий порядок (оскільки містить похідну другого порядку).
Б) У координатній формі диференціальні рівняння руху матеріальної точки мають вигляд:
, , .
Тут , , є проекціями прискорення на координатні осі;
, , – проекції сили , кожна з яких може залежати від часу t, від координат точки та від її швидкості.
Початкові умови руху точки при координатному способі мають вигляд:
початкове положення , , ;
початкова швидкість , ,
В) При натуральному способі описування руху диференціальні рівняння руху матеріальної точки мають вигляд:
,
,
,
де т – маса точки,
s – дугова координата точки, – радіус кривини траєкторії,
, , – проекції сили на дотичну , на головну нормаль та на бінормаль відповідно.
Початкові умови руху точки при натуральному способі мають вигляд: