• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Коливань і його розв’язок

Усі реальні системи є дисипативними. Енергія механічних коливань такої системи поступово витрачається на роботу проти сил опору, тому вільні ко­ливання завжди згасаючі - їх амплітуда поступово зменшується.

Для пружинного маятника масою m, що здійснює малі коливання під дією пру­жної сили , сила опору пропорцій­на до швидкості, тобто

, .

де r – коефіцієнт опору.

Другий закон Ньютона для згаса­ючих коливань має такий вигляд:

, .

Введемо позначення

, .

де – коефіцієнт згасання, а – частота, з якою здійснювались би вільні коливання за відсутності опору середовища. Цю час­тоту називають власною частотою системи.

Тоді другий закон Ньютона можна записати у вигляді

.

Розв’язок цього рівняння має вигляд

,

де – амплітуда згасаючих коливань, а AO – початкова амплітуда. Амплі­туда згасаючих коливань зменшується з плином часу і тим скоріше, чим більший коефіцієнт опору і чим менша маса т коливного тіла.

Величина називаєть­ся власною циклічною частотою коливань дисипативної системи.

Графік залежності х від часу наведено на рис.1

.

Величину Т тому називають пері­одом згасаючих коливань.

Якщо A(t) і А(t+T) – амплітуди двох послідовних коливань, що йдуть одне за одним через проміжок часу T, то відношення

.

називаєтьсядекрементом згасання, а його натуральний логарифм

æ= – логарифмічний декремент загасання.

Позначимо τ проміжок часу, про­тягом якого амплітуда коливань зменшу­ється в е разів. Тоді

.

Звідси або .

Коефіцієнт загасання δ є фізична величина, обернена до проміжку часу, про­тягом якого амплітуда зменшується в е разів. Час τ називається часом релаксацій.

Нехай N – кількість коливань, після яких амплітуда коливань зменшується в е разів. Тоді , æ .

Логарифмічний декремент згасання æ є фізична величина, обернена до кількості коливань N, після закінчення яких ампліту­да зменшується в е разів.

Добротністю коливальної систе­ми називається величина Q, яка дорівнює добутку 2п на відношення енергії Е(t) ко­ливальної системи в довільний момент часу t до зменшення цієї енергії за проміжок часу від t до t+T:

.

Лекція №21

48. Диференціальне рівняння вимушених

коливань і його розв’язок. Резонанс

Розглянемо коливання, що їх здій­снює система, якщо на неї, крім пружної сили kx і сили опору , діє ще додаткова періодична сила F, яку називатимемови­мушуючою силою i яка змінюється за гар­монічним законом

.

Диференціальне рівняння вимуше­них коливань, що відбувається вздовж осі ОХ , має такий вигляд:

, ,

де , , .

Припустимо, що усталені вимушені коливання системи, які виникають під дією сили F, також є гармонічними, тобто

,

причому їх циклічна частота дорівнює цик­лічній частоті вимушуючої сили.

Задача полягає в знаходженні амплі­туди А і початкової фази φ.

Підставивши вирази для , і х удиференційне рівняння вимушених коливань, отримуємо:

,

де введено позначення

, , , .

З рис. 2 видно, що

,

і, відповідно,

.

Звідси .

Амплітуда усталених вимушених ко­ливань прямо пропорційна до амплітуди вимушуючої сили F_o, обернено пропорцій­на масі т системи i зменшується із збіль­шенням коефіцієнта згасання.

Із рис. 2 можна отримати значення φ – зсув мас між зміщенням і вимушую­чою силою:

.

Розв’язок диференціального рівнян­ня вимушених коливань дорівнює сумі загального розв’язку однорідного рівняння

,

де і частинного розв’язку неоднорідного рівняння. Доданок x₁ відіг­рає помітну роль лише на початковій стадії процесу виникнення коливань.

Якщо F_o, т і δ сталі, то амплітуда усталених вимушених коливань залежить тільки від співвідношення між циклічними частотами вимушуючої сили (Ω) і вільних коливань системи (ω_o).

.

В такому разі коливання не здійснюються, а відхилення А_о називається статичною ам­плітудою. При всі криві асиптомічно прямують до нуля. Якщо згасання немає (δ = 0), то амплітуда коливань А зростає із зростанням циклічної частоти вимушу­ючої сили і при стає нескінчен­но великою.

Якщо є загасання ( ), то амплі­туда досягає максимального значення, коли вираз , що є в зна­меннику співвідношення для А, досягає мі­німуму. Це відбувається, коли

.

Виконуючи диференціювання, от­римуємо

.

Це рівняння має два розв’язки:

, .

Розв’язок відповідає максимуму знаменника виразу для А. Із інших двох розв’язків лише до­датний має фізичний сенс. Отже,

резонансна частота – частота, при якій ам­плітуда А коливань досягає максимального значення, – має такий вигляд:

.

Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти вимушуючої сили до частоти називається резонансом.

Для консервативної системи ( ) , а для дисипативної системи трохи менша від власної частоти системи. Підставивши у вираз для амплі­туди А, отримаємо вираз для амплітуди при резонансі:

.

При малому згасанні ( ) ам­плітуда при резонансі приблизно дорівнює

.

З виразу видно, що у випадку зміщення коливної системи і вимушуюча сила мають однакові фази; у всіх інших випадках . Залежність від при різних значеннях наведена на рис. 4.

Лекція №22

49. Вимушені коливання у електромагнітному коливальному контурі. Кола змінного струму.

Закон Ома

Розглянемо електричне коло, яке складається із джерела змінного струму та опору R.

Нехай струм у колі змінюється за законом:

.

Тоді напруга на опорі R змінюється за законом:

.

,

де , , де – індуктивний опір.

Векторна діаграма співвідношення струму та спаду напруги має вигляд:

Якщо у коло включений конденсатор, то спад напруги на ньому змінюється за законом:

.

Як слідує із рівняння, зміна напруги на конденсаторі відстає від струму по фазі на кут . Величина – зветься ємнісним опором.

Для постійного струму .

.

.

.

Тоді величину можна трактувати як повний опір кола Z, а зв’язок між струмом, напругою та повним опором виразити рівністю:

,

яка зветься законом Ома для змінного струму.

а повний опір визначається за формулою

.

50. Резонанс напруг

Нехай у колі із послідовно з’єднаними R, L, С включене джерело е.р.с., яка змінюється за законом:

.

Тоді у колі буде протікати струм

,

де , , а зміщення за фазою визначається

.

Проаналізуємо залежність струму І_о від w (частоти е.р.с.).

Якщо , то і , . При збільшенні w реактивний опір спочатку зменшується, Z – також зменшується, а – збільшується.

Випадок, коли частота генератора w рівна частоті , амплітуда струму досягає максимального значення, а зсув фаз між струмом та напругою дорівнює нулю, зветься резонансом напруг.

Розглянемо, чому дорівнюють спади напруг на L та С в момент резонансу.

.

В момент резонансу .

,

де Q – добротність контура.

Отже . Аналогічно .

При великих добротностях Q, спади напруг U_OL та U_OC можуть в багато разів перевищувати напругу U_OR, а також e_о генератора.

51. Розгалуження змінних струмів.

Резонанс струму

При деякому співвідношенні між L та С і w зсув фаз стає рівним нулю, контур поводиться як коло із чисто активним опором, а струм досягає мінімального значення. Цей випадок вимушених коливань зветься резонансом струмів.

52. Робота та потужність змінного струму

Нехай напруга в колі змінюється за законом . Якщо у колі Z=R, то . Миттєва потужність . Середнє значення потужності за великий проміжок часу рівне середньому значенню за період.

Робота .

За період Т: , .

;

Якщо коло містить L, С, то .

Оскільки прилади фіксують ефективне значення струму та напруги, а не амплітудне (І_о, U_о), то

, ,

тоді .

Лекція №23

53. Утворення хвиль в пружному середовищі.

Поздовжні і поперечні хвилі.

Рівняння біжучої хвилі

Розглянемопружне середовище, між частинками якого існують сили взаємодії, що перешкоджають тому або іншому виду його деформації. Тіло, яке коливається в пружному середовищі, періодично діє на прилеглі до нього частинки середовища, виводячи їх з положення рівноваги і змушуючи здійснювати вимушені коливання. При цьому середовище поблизу тіла деформується і в ньому виникають пружні сили. Ці сили діють як на прилеглі до тіла частинки, намагаючись повернути їх у положення рівно­ваги, так і на віддаленіші від тіла частинки, виводячи їх з положення рівноваги. Від­даленіші від тіла області середовища посту­пово втягуються в коливальний рух.

Прогрес поширення коливань в суцільному середовшці, яке неперервно розподіле­не в просторі і має пружні властивості, називається механічним хвильовим проце­сом, або механічною хвилею.

При поширенні хвилі частинки се­редовища не рухаються разом з хвилею, а коливаються біля свого положення рівно­ваги.Основна властивість всіх хвиль є переннесення енергії без перенесення речовини.

Пружними (або механічними) хвиля­ми називаються механічні збурення, що по­ширюються у пружному середовищі. Пружні хвилі бувають поперечні і поздовжні.

Пружна хвиля називається гармо­нічною, якщо відповідні їй коливання час­тинок середовища є гармонічними.

Нехай поперечна гармонічна хвиля поширюється вздовж осі ОХ .

Відстань між найближчими частин­ками, що коливаються в однаковій фазі, на­зиваєтьсядовжиною хвилі . Довжина хвилі дорівнює тій відстані, на яку поши­рюється певна фаза коливань за період:

і .

Нехай точка, від якої йдуть коливан­ня, коливається в суцільному середовищі. Коливання поширюються від центра у всі боки.

Поверхня, до якої доходить коливан­ня в деякий момент часу, називається фронтом хвилі.

Фронт хвилі - це поверхня, яка відокремлює частину простору, уже залучену у хвильовий процес, від області, в якій коливання ще не виникли.

Поверхня, в якій всі частинки коли­ваються в однаковій фазі, називається хви­льовою.

Хвильову поверхню можна провес­ти через довільну точку простору, який охоплений хвильовим процесом. Отже, хви­льових поверхонь існує нескінченна множина, а хвильовий фронт в кожний момент часу лише один. Хвильові поверхні зали­шаються нерухомими, а хвильовий фронт весь час переміщується.

Хвильові поверхні можуть бути до­вільної форми.

Хвиля називаєтьсяплоскою, якщо її хвильові поверхні мають вигляд площин, які паралельні площині, що проходить че­рез джерело хвиль.

Хвиля називаєтьсясферичною, як­що її хвильові поверхні мають вигляд кон­центричних сфер. Центр цих сфер назива­ється центром хвилі.

Напрямки, в яких поширюються ко­ливання, називаютьсяпроменями. В ізотропному середовищі промені перпендику­лярні до фронту хвилі.

Поширення в пружному середовищі механічних збурень, збуджених джерелом хвиль, пов’язане з перенесенням хвилями енергій. Тому такі хвилі називаютьсябіжучими хвилями.

Рівнянням хвилі називається вираз, який дає зміщення коливної частинки як функцію її координат x, y, z і часу t.

Розглянемо плоску хвилю, яка по­ширюється вздовж осі ОХ і збуджується в площині х = 0 (рис.8). Нехай коливання в цій площині мають вигляд:

.

Отже, коливання частинок, що лежать у площині х, будуть запізнюватись на час від коливань частинок у площині x=0, тобто матимуть вигляд:

.

Введемо величину, яка називається хвильовим числом:

.

Тодірівняння біжучої плоскої хвилі, що по­ширюється вздовж осі ОХ , має такий вигляд:

,

де A – амплітуда коливань, яка називається амплітудою хвилі; – циклічна частота хвилі; – початкова фаза коливань в площи­ні x=0. Величина дорівнює фазі коливань у довільній площині з коорди­натою х і називається фазою плоскої хвилі. Зафіксуємо певне значення фази:

.

Цей вираз визначає зв’язок між ча­сом t і тим місцем х, в якому фаза має зафік­соване значення. Величина дає швидкість, з якою переміщається дане значення фази. Продиференціюємо вираз для фааи:

.

Звідси

.

Отже, швидкість поширення хвилі є ніщо інше, як швидкість переміщення фази хвилі і її називають фазовою швидкістю.

Якщо плоска хвиля поширюється в довільному напрямку, то

,

де – вектор, який дорівнює за моду­лем хвильовому числу і має напрям нормалі до хвильової поверхні.

Лекція №24

54. Інтерференція хвиль. Рівняння стоячої хвилі

Якщо в середовищі є декілька джерел коливань, то хвилі, які поширюються від них, йдуть незалежно одна від одної і після вза­ємного перетину розходяться далі так, ніби такої зустрічі і не було. Це положення нази­вається принципом суперпозиції.

В місцях зустрічі хвиль коливання середовища, які викликані кожною з хвиль, складаються одне з одним. Результат дода­вання (результуюча хвиля) залежить від співвідношення фаз, періодів і амплітуд хвиль, що накладаються.

Узгоджене проходження в часі і просторі декількох коливань або хвильових процесів пов’язується з поняттям когерент­ності.

Інтерференцією хвиль називається явище, яке відбувається при накладанні двох або кількох когерентних хвиль, при якому відбувається стійке в часі їх взаємне підсилення в одних точках простору і ос­лаблення в інших, залежно від співвідно­шення між фазами цих хвиль.

Розглянемо накладання двох коге­рентних косинусоїдальних хвиль, які збуджуються точ­ковими джерелами S₁ і S₂ (рис.10):

, .

Амплітуда А результуючої хвилі в точці М дорівнює

.

Оскільки для когерентних джерел різниця початкових фаз ,то результат інтерференції двох хвиль в різних точках залежить від величини , яка називається геометричною різницею ходу хвиль.

У точках, де ,

спостерігається інтерференційний макси­мум: амплітуда результуючого коливання .

В точках, де , спостерігається інтерференційний міні­мум: амплітуда результуючого коливання

.

m – порядок інтерференційного максимуму або мінімуму.

Оскільки хвильове число , де –довжина хвилі в даному середовищі, то при різниці ходу хвиль

амплітуда результуючого коливання максимальна. Якщо , то ця умова на­бирає вигляду

.

Амплітуда результуючого коливання міні­мальна в усіх точках, для яких

.

Якщо , то ця умова на­бирає вигляду

.

При інтерференції хвиль їхня енер­гія механічно не підсумовується. Інтерфе­ренція хвиль призводить до перерозподілу енергії коливань між сусідніми областями середовища.

Особливим випадком інтерференції є стоячі хвилі.

Стоячі хвилі – це хвилі, які утворюються при накладанні двох біжучих хвиль, що поширюються назустріч одна одній з однаковими частотами і амплітудами.

, .

де – різниця фаз хвиль у точці х=0 (рис.11).

Додавши ці рівняння і враховуючи, що , отримаємо рівняння стоячі хвилі:

.

Множник показує, щов точках середовища виникає коливання з тією самою ж частотою , що і коливання зустрічних хвиль.

Множник , який не залежить від часу, виражає амплітуду А_ст, результуючих хвиль, точніше – амплітуда як величина позитивна дорівнює абсолют­ному значенню цього множника:

.

Амплітуда результуючого коливання залежить від координати х, що визначає положення точок середовища.

У точках середовища, де

, ,

амплітуда А_ст досягає максимального зна­чення 2А. Точки, в яких А_ст максимальна,

називаютьсяпучностями стоячої хвилі.

У точках середовища, де

,

А_ст=0. Ці точки називаютьсявузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що знаходяться у вузлах, не коливаються.

Виберемо початок відліку х так, щоб дорівнювало нулю. Тоді координати пучностей

,

а вузлів

.

Відстань між двома сусідніми пуч­ностями отримаємо, якщо знайдемо різни­цю двох значень х_n для двох послідовних значень т:

,

тобто відстань між сусідніми пучностями дорівнює половині довжини тих хвиль, в результаті інтерференції яких утворюється дана стояча хвиля.

Відстані вузла від найближчої пучності дорівнює:

.

Отже, в стоячій хвилі є ряд нерухо­мих вузлових точок, які розміщені на від­стані півхвилі одна від одної. Частинки між вузлами коливаються з різними амплітуда­ми, від нуля у вузлі до подвійної амплітуди у пучності. Всі частинки одночасно прохо­дять через положення рівноваги і одночасно досягають максимальних відхилень, отже, коливаються в однакових фазах. В суміжно­му інтервалі між вузлами характер коливань такий самий, але фаза протилежна.

У стоячій хвилі енергія не перено­ситься – повна енергія коливань кожного елемента об’єму середовища обмеженого сусіднім вузлом і пучністю, не залежить від часу. Вона лише переходить з кінетичної енергії в потенціальну енергію пружно деформованого середовища і навпаки. Відсутність перенесення енергії стоячою хвилею є результатом того, що падаюча і від­бита хвилі, які утворюють цю стоячу хви­лю, переносять енергію в рівних кількості і в протилежних напрямках.

Читайте також:

1. Биття та модуляція коливань
2. Біржове страхування (хеджування) учасників біржової торгівлі від несприятливих для них коливань цін
3. Визначення власних частот коливань системи.
4. Визначення форм коливань.
5. Використання крутильних коливань для визначення моменту інерції
6. Вимірювання сезонних коливань
7. Вимірювання сезонних коливань.
8. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань
9. Генератори релаксаційних коливань
10. ГЛАВА 7. ГЕНЕРАТОРИ ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛИВАНЬ
11. Динамічне гасіння коливань.
12. Довжиною хвилі є відстань, на яку поширюється хвильовий процес за час одного періоду коливань.

Переглядів: 4655