Використання крутильних коливань для визначення моменту інерції
Визначення моменту інерції неоднорідних тіл і тіл неправильної форми за допомогою інтегрування є складною задачею. У таких випадках моменти інерції визначають експериментально, зокрема, використовуючи метод крутильних коливань.
Суть методу крутильних коливань полягає в такому:
Якщо взяти будь-яке тіло, що закріплене на сталевому стрижні (дротині), і повернути його на деякий кут відносно осі стрижня, в ньому, внаслідок пружинної деформації кручення, виникне внутрішній момент сил
, (6.9)
який протидіє закручуючому моменту і протилежний йому за напрямком. Тут - модуль кручення стрижня. Якщо тіло відпустити, то під дією цього внутрішнього моменту сил тіло почне здійснювати крутильні коливання для яких є справедливим закон динаміки обертального руху
,
де – кутове прискорення, .
В нашому випадку диференціальне рівняння крутильних коливань матиме вигляд:
або
, . (6.10)
Розв’язком рівняння (6.10) є функція
, (6.11)
де - циклічна частота крутильних коливань.
Період крутильних коливань
. (6.12)
Із формули (6.12) видно, що, при відомому модулі кручення стрижня та виміряному експериментально періоді коливань , можна обчислити момент інерції тіла.
Для вимірювання момента інерції тіл використаємо крутильний маятник FРМ-05 з відомим значенням модуля кручення . Маятник складається з механічної частини (закріпленої на дротинах рамки), яка може здійснювати коливання, електромагніту, фотоелектричного датчика, універсального мілісекундоміра, який вимірює кількість коливань і час коливань .
Конструкція рамки дозволяє закріплювати в ній досліджувані тіла. Період коливань рамки з тілом, враховуючи (6.12)
, (6.13)
де – момент інерції рамки; – момент інерції досліджуваного тіла, яке досліджується.
Момент інерції рамки маятника невідомий, тому не можна безпосередньо скористатись формулою (6.13) для обчислення моменту інерції досліджу- вального тіла.
Задача розв’язується, якщо спочатку визначити період коливань самої рамки маятника
, (6.14)
а потім визначити період коливань рамки із зафіксованим в ній тілом:
(6.15)
Із рівнянь (6.14) і (6.15) знаходимо або , звідси одержимо формулу для обчислення моменту інерції тіл: