• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Авторегресійні моделі в аналізі динаміки економічних процесів і їх прогнозуванні

При оцінки динаміки економічних процесів і їх прогнозуванні необхідно спиратись на обґрунтовану теорію, що встановлює правомочність оцінки і прогнозування за допомогою моделі і помилки вірогідності прогнозу. Оцінка такої помилки за допомогою функції зростання неможлива, тому особливий інтерес представляють авторегресійні моделі.

Авторегресією називається рівняння, що визначає змінну х_j в момент t (або t-й період) через її значення в попередні періоди: (t-1) (t-2)... (t-к). Лінійне авторегресійне рівняння записуємо у вигляді

Х_t = а₁ Х_t-1 + а₂ Х_t-2 + + а_к Х_t-к. (12.17)

Першим етапом дослідження часового ряду змінної Х є виділення загальної тенденції у вигляді функції d(t) і визначення залишків ε_t у формі ε_t = Х_t - d(t) чи ε_{t =} d(х_t).

Якщо залишки ε_t незалежні, тобто не можуть бути представлені як функція часу, то функція d(t) охоплює повністю еволюційну складову змінної Х_t. При цьому залишається знайти закон їх розподілу ε_t і, прийнявши гіпотезу про збереження цього закону розподілу на прогнозований період, побудувати довірчий інтервал для прогнозованої величини Х_t за функцією d(t). Якщо ж залишки ε_t залежні, тобто містять деяку тенденцію, то її можна виявити за допомогою коефіцієнта автокореляції. Проводячи зсув значень ε_t на один рядок і останнє значення переміщаємо на перше місце, одержуємо табл. 12.9.

Таблиця 12.9. Залишки змінних ряду динаміки

Обчислюємо циклічний коефіцієнт кореляції між рядами ε_t і ε_t-1 за формулою

r(ε_t, ε_t-1) = . (12.18)

Ця формула (12.18) виходить із звичайної формули для визначення коефіцієнта кореляції, якщо покласти

∑ ε_{t =} ∑ ε_t-1 = 0; (12.19)

∑ (ε_{t -1})² = ∑ (ε_t)² . (12.20)

Формула (12.19) виходить з того, що параметри функції d(t) визначаються за методом якнайменших квадратів, а формула (12.20) - з циклічної табл. 12.9.

Аналогічно, зсовуючи ε_{t на 2,3….К} рядків, одержуємо циклічну таблицю послідовних відхилень.

Таблиця 12.10. Циклічна таблиця послідовних відхилень

За даними табл. 12.10 визначаємо всі циклічні коефіцієнти автокореляції:

r(ε_xt ε_xt-j) = , i, j = 1,2,…..K; (12.21)

r(ε_xt-1 ε_xt-j) = . (12.22)

Циклічний коефіцієнт автокореляції не підпорядковується нормальному закону розподілу, його розподіл асиметричний, суттєві величини коефіцієнтів автокореляції при певному рівні значущості різні для позитивних і негативних його значень. 5% - й і 1% - й рівні значущості коефіцієнтів автокореляції подані в спеціальних таблицях. Знайдені значення r₁, r₂… r_n-к-1 перевіряємо по таблиці 5% - х і 1% - х рівнів вірогідності коефіцієнтів автокореляції. Якщо | r_{стат. (n)} | < | r_{5%. (n)} |, то приймаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків ε_t; якщо | r_{стат. (n)} | > | r_{1%. (n)} | відкидаємо гіпотезу їх неавтокорельованості.

За циклічними коефіцієнтами автокореляції складаємо матрицю і її обертаємо. Як і в разі звичайної регресії багаточинника, перевіряємо наявність мультиколінеарності кожного з чинників ε_xt-j, j=1,2-k від сукупності інших і зберігаємо тільки лінійно незалежні аргументи.

Будуємо лінійну авторегресійну модель

ε_t = а₁ ε_t-1 + а₁ ε_t-2 + ….+ а_к ε_t-к, (12.23)

що виражає ε_t в період t за допомогою значень ε_t-j, j = 1,2…К за К попередніх періодів. При цьому в рівнянні повинні бути збережені тільки суттєві і лінійно незалежні коефіцієнти.

Якщо виявляються а_j – коефіцієнти, що не задовольняють вказаним вимогам, то модель потребує перерахунку (починаючи з розрахунку автокореляційної матриці більш низького порядку).

Оскільки параметри рівняння тренда визначали за методом найменших квадратів, то в разі його коректного підбору відповідні відхилення підкоряються нормальному розподілу, і, отже, рівняння регресії можна відшукувати в лінійній формі

ℓ_n X_t = a₁ ℓ_n X_t-1 + a₂ ℓ_n X_t-2 +…….+a_k ℓ_n X_t-k + F(t); (12.24)

X_t = a₁ X_t-1 + a₂ ℓ_n X_t-2 +……..+ a_n X_t-k + F(t). (12.25)

Яким повинне бути число членів рівняння, це питання слід вирішувати в поєднанні професійних вимог процесу, що по суті вивчається, з математико-статистичними критеріями. Так, якщо статистичний ряд містить тижневі дані, то особливий інтерес являє чотиричленна модель залежності рівня показника від тижневих рівнів за весь попередній місяць. У разі місячних даних цікава тричленна авторегресія, а для даних, зібраних по роках, – п’ятичленна.

Статистичні критерії покликані встановити відсутність автокорельованості залишків від віднімання з табличних значень ε_t їх розрахункових значень

η_t = ε_t – (a₁ ε_t-1 + a₂ ε_t-2 +…+ a_k ε_t-2k) . (12.26)

Існує декілька статистичних критеріїв. Один з них заснований на порівнянні середнього квадрата послідовних різниць η_t:

. (12.27)

З дисперсією величини

(12.28)

Складаємо відношення середнього квадрата послідовних різниць, до середнього квадрата самих величин:

К = . (12.29)

Якщо К_стат., потрапляє в допустиму область при рівні значущості 5%, а саме К_5% (n-k) < К_стат (n-k) < К¹_5% (n-k), то приймаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків η_t, а, отже, і достатності числа членів К авторегресійної моделі.

Якщо ж К_стат (n-k) < К_% (n-k) або К_стат > К_1% (n-k), то відкидаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків η_t і рахуємо число членів рівняння недостатності. У цьому випадку число членів рівняння треба збільшити, якщо довжина ряду дозволяє це.

Користуючись для прогнозу розробленими рівняннями, можна знайти довірчий інтервал для значення прогнозованого показника.

Якщо прогнозований показник рівний , то розмір показника Х_t записуємо у вигляді

- ≤ Xt ≤ + . (12.30)

Викладена методика складання авторегресійних моделей, використані критерії і побудований довірчий інтервал можна застосовувати тільки для великих вибірок, коли довжина ряду n не менше 30.

Помилка прогнозу по отриманих рівняннях визначається за дисперсії ε_t. Оскільки

- Х_t = ε_t, (12.31)

то Β_ер = | ε_t| ≤ t_α σ_ε = P_α, (12.32)

де P_α – задана вірогідність, P_α = 1-α, а t_α - відповідна межа по С (n-k) ступеням свободи Стьюдента:

σ_ε = . (12.33)

Розглянемо приклади складання авторегресійних моделей.

Одночленна модель. Щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту на 1000 пасажирів, що перевозяться, заданий рядом в графі 2 табл. 12.11. Знайдіть параметри одночленної авторегресійної моделі і спрогнозуйте щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту.

Вирішення

Наявність експоненціального ряду (див. рис. 12.3.) дозволяє розраховувати на придатність одночленної моделі = а₁Х_t-1.

Система нормальних рівнянь для визначення параметра а₁ має вигляд

= а_{1 .} (12.34)

З табл. 12.11. (графи 4 і 5) виходить 367673,4 = 364278,2 а₁

Звідки а_{1 =} = 1,0087 ≈ 1,01.

Одержуємо рівняння = 1,01 Х_t-1. Обчислюємо значення = 1,01 Х_t-1 (графа 6) і знаходимо значення ε_{t =} X_t -Х_t-1 (графа 7) ∑ ε_t = 9,4, що несуттєво в порівнянні з розмірами X_t.

Обчислюємо коефіцієнт циклічної автокореляції r₁. За графами 9 і 10 отримаємо

r₁ = r(ε_t, ε_t-1) = (12.35)

З табл. 12.11 знаходимо n¹ = 15-1=14, r<0, r_5% = -0,479.

Оскільки | r₁| < | r_5%|, кореляція ε_t, ε_t-1 несуттєва.

Аналогічно за графами 12 і 10 (табл. 12.11) одержуємо r₂ = = 0,416, що свідчить про несуттєвість кореляції ε_t и ε_t-2.

У даному випадку переважний критерій Дж. Неймана. Обчислюємо різницю ε_t -ε_t-1 за графами 13 і (ε_t -ε_t-1)² – за графами 14. Одержуємо

K= (12.36)

За табл. 12.11 для n₁ = 14 рівень значущості К_5% рівний 1,2725 при r > 0 і 3,0352 у разі r < 0. Розрахунки свідчать, що коли в генеральній сукупності автокореляція між залишками ε_t відсутня, то в 95% вибірок буде К > 1,272 у випадку r > 0 и К < 3,0352 при <.

У даному прикладі значення К потрапляє в допустиму область при 5% рівні значущості К > 1,2725. Отже, гіпотеза неавтокорельованості залишків ε_t стверджується і авторегресійне рівняння X_t = 1,01 X_t-1 приймається.

Помилка прогнозу при середньоквадратичному відхиленні

σ_ε = . (12.37)

Складаємо

В_ср = ≤ t_α * = P_{a .} (12.38)

При 95%-й гарантійної вірогідності t_α = 2,1 за табл. П.4[12] і помилка прогнозу не перевищить 14,42, що складає приблизно 8%:

- 14,42 ≤ 1,01 X_t-1 ≤ + 14,42 (12.39)

Визначаємо прогноз на 16-й і 17-й періоди з похибкою, що не перевершує 14,42 (рис. 12.3.):

= 1,01 * Х15 = 1,01 * 175,3 = 177,05; (12.40)

= 1,01 Х17 = 1,01 * 175,5 = 177,06. (12.41)

Таблиця 12.11. Розрахунок параметрів одночленної авторегресійної моделі

t	Xt	Xt-1	Xt Xt-1	Xt-12		εt= Xt-	εt-1	εt* εt-1	εt2	εt-2	еt* еt-2	еt - еt-1	(еt - еt-1)2
	153,1	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
	153,3	153,1	23470,2	23439,6	154,6	-1,3	5,4	-7,02	1,69	1,7	2,21	5,1	26,01
	148,4	153,3	22749,7	23500,9	154,8	-6,4	-1,3	8,32	40,96	5,4	-34,56	-5,4	29,16
	148,9	148,4	22096,8	22026,6	149,9	-1,0	-6,4	6,4	1,0	-1,3	1,3	-11,0	14,0
	160,4	148,9	23883,6	22171,2	150,4		1,0	10,0	1,0	-6,4	-64,6	11,5	132,25
	160,5	160,4	25744,2	25728,2	162,0	-1,5	10,0	-15,0	2,25	-1,0	1,5		10,89
	157,3	160,5	25246,6	25760,2	162,1	-4,8	-1,5	7,2	23,04	10,0	-48,0	-16,5	272,25
	170,6	157,3	26835,4	24743,3	158,9	11,7	-4,8	-16,5	136,89	-1,5	-17,55	3,3	10,89
	163,9	170,6	27961,3	29104,4	172,3	-8,4	11,7	-98,27	70,56	-4,8	40,32	-7,4	54,76
	164,3	163,9	26928,3	26863,2	165,3	-1,0	-8,4	8,4	1,0	11,7	-11,7	-16,1	259,21
	170,9	164,3	28078,9	26994,5	155,8	15,1	1,0	15,1	228,01	-8,4	-126,84	19,8	292,04
	167,9	170,9	28694,1	29206,8	172,6	-4,7	15,1	-70,97	22,09	-1,0	4,7	-3,2	10,24
	168,1	167,9	28223,9	28190,4	169,6	-1,5	-4,7	7,05	2,25	15,1	-22,65	0,2	0,04
	168,2	168,1	28274,4	28257,6	169,9	-1,7	-1,5	2,55	2,89	-4,7	7,99	-7,1	50,41
	175,3	168,2	29485,5	28291,2	169,9	5,4	-1,7	9,18	29,16	-1,5	-8,4	-	-
	175,5		367673,4	364278,2		9,4		-184,64	661,179		-275,68		1369,15

Рис. 12.3. Одночленна авторегресійна модель:

1-вихідні дані; 2-одночленна авторегресія; 3-вирівнююча гіпербола.

Багаточленна модель. Щомісячна реалізація цегли (в тисячах штук) на базі будівельних матеріалів за 18 місяців представлена в табл. 12.12 (графа 2). Треба скласти модель для прогнозування місячної потреби в цеглі на найближчі місяці.

Вирішення

Розрахунок багаточленної авторегресійної моделі представимо в табл. 12.12.

Таблиця 12.12. Розрахунок параметрів багаточленної авторегресійної моделі   t	Xt	Xt-1		εt=Xt-Xt-1	εt-1	εt*εt-1	εt2	εt-εt-1	(εt-εt-1)2	Xt-2
		-	-	-	-	-	-	-	-	-
			16,55	0,55	2,84	-1,5	0,3	-	-	-
			18,75	4,25	0,55	2,34	18,06	-3,7	13,68
			25,37	1,63	4,25	6,93	2,66	2,62	6,86
			29,78	2,22	1,63	3,62	4,92	-0,59	0,35
			35,29	-6,29	2,22	-20,6	86,3	11,51	132,48
			28,68	-7,68	-9,29	71,35	58,98	1,61	2,59
			23,16	-5,16	-7,68	39,63	26,63	-2,62	6,35
			19,55	-4,55	-5,16	23,48	20,70	-0,61	0,37
			16,55	2,45	-4,55	-11,15	6,00	7,0
			20,96	3,04	2,45	7,45	9,24	-0,59	0,35
			26,47	6,53	3,04	19,85	42,64	-3,49	12,18
			36,40	0,6	6,53	3,92	0,36	6,47	41,86
			40,81	0,19	0,6	0,11	0,36	0,41	1,68
			45,22	-1,78	0,19	-0,34	3,17	1,97	3,88
			47,43	-2,43	-1,78	4,33	5,9	0,75	0,56
			49,64	-2,64	-2,43	6,42	6,97	0,21	0,04
			51,24	-2,84	-2,64	7,5	8,07	0,2	0,04
∑						162,28	301,26		272,2

Продовження табл. 12.12

Xt*Xt-1	Xt*Xt-2	Xt-1* Xt-2	Xt-12	X 2t-2	0,1175 Xt-1	1,061 Xt-2		εt=Xt-	εt2	εt- εt-1	(εt- εt-1)2
-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
					1,99	15,91	17,9	5,1	26,01	-	-
					2,70	18,04	20,74	6,26	39,8	-1,13	1,27
					3,17	24,40	27,57	4,43	19,62	1,83	3,35
					3,76	28,64	32,30	-6,3	39,69	10,73	115,13
					3,05	33,95	37,00	-16,0	25,6	9,7	94,09
					2,46	27,58	30,04	-12,04	144,96	-3,96	15,68
					2,11	22,28	24,38	-9,38	86,49	-2,66	7,07
					1,76	19,09	20,85	-1,85	3,42	-7,52	56,55
					2,23	15,92	18,15	5,95	35,4	-7,80	60,84
					2,82	25,46	22,98	10,02	100,4	-4,07	16,54
					3,87	26,52	29,33	7,67	58,82	2,35	5,52
					4,34	33,20	37,54	3,46	11,97	4,21	17,72
					4,82	39,25	44,07	-1,07	1,14	4,53	20,52
					5,05	43,50	48,55	-3,55	12,6	-2,48	6,15
					5,29	45,62	50,91	-3,91	15,29	0,36	0,12
					5,52	47,74	52,26	-4,26	18,14	0,35	0,12
								15,47	428,33

Використовуючи перші 18 членів ряду, складемо одночленну модель = а₁ Х_t-1. Визначаємо а₁ за методом середніх (табл. 12.12, графи 2.3):

а = (12.42)

Обчислюємо значення = 1,103 Х_t-1 і залишків ε_t = - Х_t (графи 4, 5). Для використання першого критерію автокорельованості складаємо циклічний ряд ε_t-1 (графа 6), обчислюємо ε_{t *} ε_t-1 (графа 7) і ε_t² (графа 8). У результаті одержуємо

r₁ = r(ε_t, ε_t-1) = (12.43)

За табл. 12.12 знаходимо n₁ = 18 – 1 =17 і r > 0, маємо r_1% = 0,475.

Отже, r₁ потрапляє в критичну область при 1% рівні значущості, що дає підставу відкинути гіпотезу неавтокорельованості ε_t.

Таким чином, модель = а₁ Х_t-1 не приймається. До такого ж висновку приводить і другий критерій Дж. Неймана. На підставі граф 8,10 отримаємо

К = (12.44)

За табл. 12.12 знаходимо: n₁ = 17 маємо К_1% = 1,035. Значить, К потрапляє в критичну область при 1% рівні значущості, що дає підставу забракувати гіпотезу відсутності автокорельованості ε_t.

Складаємо двочленну модель = а₁ Х_t-1. + а₂Х_t-2. Система нормальних рівнянь для визначення параметрів методом якнайменших квадратів має видгляд:

. (12.45)

Визначивши суми для вирішення системи (табл. 12.12, графи 12-16), отримаємо 16289=1728 а₁ + 14241 а₂ ; 14853 = 14241 а₁ + 13187 а₂, звідки а₁ = 0,1175; а2 = 1,061. У графах 17-19 наведені значення Х_t, розраховані по формулі = 0,1175 Х_t-1 + 1,061 Х_t-2 . Відхилення ε_t знаходимо за графами 20 і критерієм Дж. Неймана перевіряємо неавтокорельованість залишків. З граф 21,23

K= . (12.46)

За табл. 12.12 маємо:

К_5% (16) = 1,309 при r > 0;

К_5% (16) = 2,9577 при r < 0.

Отже, розрахункове значення К потрапляє в допустиму область при 5% рівні значущості, що дає підставу для ухвалення гіпотези неавтокорельованості залишків ε_t для затвердження двочленній моделі: = 0,1175 Х_t-1 + 1,061 Х_t-2. При середньоквадратичному відхиленні

σ_ε = = = 5,17 (12.47)

помилка прогнозу В_ср = ≤ t_α * = P_α; при 90%-й гарантійної вірогідності t_α = 1,74 помилка прогнозу не перевищить 8,84.

Прогноз на 19 і 20 періоди Х₁₉ = 55,61; Х₂₀ = 58,20 з 90%-й вірогідністю непереходу за межі

- 8,84 ≤ 0,1175 Х_t-1 + 1,061 Х_t-2 ≤ + 8,84. (12.48)

Таким чином, представлені методики оцінки динаміки економічних процесів і розробки відповідних економетричних моделей динаміки дають змогу приймати управлінські рішення з урахуванням періодів функціонування підприємства та прогнозування економічних показників.

Питання і завдання для самоконтролю до змістового модулю 5

Питання для самоконтролю:

1. Назвіть основні принципи при побудові економетричних моделей?

2. Охарактеризуйте основні критерії оцінки адекватності економетричних моделей?

3. Що таке мультиколінеарність? Назвіть причини її виникнення.

4. В чому полягає парний регресійний аналіз?

5. В чому полягає кількісний регресійний аналіз? Який вигляд має кількісна регресійна модель?

6. Охарактеризуйте етапи побудови багатофакторної економетричної моделі?

7. Охарактеризуйте t-критерій Ст’юдента і F-критерій Фішера для оцінки адекватності багатофакторної економетричної моделі.

8. Охарактеризуйте тест Дарбіна-Уотсона для оцінки адекватності багатофакторної економетричної моделі.

9. Проінтепретуйте отримані результати на основі розробленої Вами багатофакторної економетричної моделі.

10. Охарактеризуйте узагальнені економетричні моделі.

11. Назвіть види узагальнених економетричних моделей і охарактеризуйте їх.

12. Назвіть основні поняття і визначте сутність динамічних процесів в економіці.

13. Що таке часовий ряд і назвіть напрями його оцінки.

14. Що таке авторегресія і як будуються авторегресійні моделі.

15. Назвіть статистичні критерії оцінки автокорельованості залишків і як вони визначаються.

Завдання для самоконтролю:

1. За статистичними даними 10 підприємств розробити рівняння регресії рівня витрат на виробництво продукції (Рввп) від фондоозброєності праці робітників (ФЗп):

1) побудувати поле кореляції і за ним визначити характер та обґрунтувати математичну форму рівняння регресії;

2) визначити коефіцієнти регресії а₀ та а₁, їх економічний зміст, записати рівняння регресії;

3) визначити коефіцієнти кореляції;

4) визначити з ймовірністю 0,95 довірчі границі помилки апроксимації, записати рівняння регресії в остаточному вигляді;

5) обґрунтувати економічну сутність отриманих результатів.

Таблиця 12.13. Статистичні дані діяльності підприємств

2. За статистичними даними 10 підприємств розробити рівняння регресії рівня витрат на виробництво продукції (Рввп) від фондовіддачи основних засобів (ФФоз):

1) побудувати поле кореляції і за ним визначити характер та обґрунтувати математичну форму рівняння регресії;

2) визначити коефіцієнти регресії а₀ та а₁, їх економічний зміст, записати рівняння регресії;

3) визначити коефіцієнти кореляції;

4) визначити з ймовірністю 0,95 довірчі границі помилки апроксимації, записати рівняння регресії в остаточному вигляді;

5) обґрунтування економічної сутності отриманих результатів.

Таблиця 12.14. Статистичні дані діяльності підприємств

3. За статистичними даними 10 підприємств розробити рівняння регресії рентабельності реалізації продукції (Ррп) від коефіцієнту вибуття робітників (Квр):

1) побудувати поле кореляції і за ним визначити характер та обґрунтувати математичну форму рівняння регресії;

2) визначити коефіцієнти регресії а₀ та а₁, їх економічний зміст, записати рівняння регресії;

3) визначити коефіцієнти кореляції;

4) визначити з ймовірністю 0,95 довірчі границі помилки апроксимації, записати рівняння регресії в остаточному вигляді;

5) обґрунтування економічної сутності отриманих результатів.

Таблиця 12.15. Статистичні дані діяльності підприємств

4. Представлені статистичні дані собівартості пасажироперевезень міським електричним транспортом, (табл. 12.16), вирівняти за ковзаною середньою і побудувати графік і обґрунтувати тенденції зміни собівартості пасажироперевезень.

Таблиця 12.16. Статистичні дані собівартості пасажироперевезень по депо

Продовження табл. 12.16

5. На основі даних динаміки статистичних показників представлених в табл. 12.17 виявіть загальну тенденцію їх зміни, побудуйте економетричну модель динаміки і розрахуйте прогноз на 2 наступних роки.

Таблиця 12.17. Динаміка статистичних показників

6. Щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту на 1000 пасажирів, що перевозяться, представлений в табл. 12.18. Розрахуйте параметри авторегресійної моделі і складіть прогноз на наступні 2 місяці.

Таблиця 12.18. Щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту на 1000 пасажирів

Продовження табл. 12.18

7. Щомісячна реалізація покрівельних матеріалів (в тисячах штук) заводом за 18 місяців представлена в табл. 12.19. Треба скласти авторегресійну економетричну модель і спрогнозувати місячну потребу в покрівельних матеріалах на 2 наступні місяці.

Таблиця 12.19. Щомісячна реалізація покрівельних матеріалів (в тисячах штук) заводом

Продовження табл. 2.19

Міністерство освіти і науки України

Харківська національна академія міського господарства

ПРИКЛАД

ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ

Читайте також:

1. CMM. Визначення моделі зрілості.
2. CMM. Групи ключових процесів
3. CMM: зрілість організацій і процесів
4. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
5. III. GPSS — програма імітаційної моделі ЕОМ
6. ISO 15504.Структура еталонної моделі
7. S Визначення оптимального темпу роботи з урахуванням динаміки наростання втоми.
8. Tема 4. Фації та формації в історико-геологічному аналізі
9. VIІІ ЕКОНОМІКС МІЖНАРОДНИХ ЕКОНОМІЧНИХ ВІДНОСИН
10. VІII. Основи молекулярної фізики і термодинаміки
11. А) Показники, які використовують при аналізі кон'юнктури
12. А) Структура економічних відносин.

Переглядів: 1397