Послідовність називається неспадною ( незростаючою ), якщо виконується нерівність для усіх .
Неспадні та незростаючі послідовності називаються монотонними.
Якщо для всіх членів монотонної послідовності виконується строга нерівність , то послідовність називається зростаючою (спадною). Зростаючі та спадні послідовності називаються також строго монотонними.
З означення випливає, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони: неспадна обмежена знизу, а незростаюча – зверху.
Розглянемо числову множину , яка складається з усіх елементів послідовності . За умовою ця множина непорожня і обмежена зверху, а тому має точну верхню межу.
Позначимо . Покажемо, що .
Оскільки - точна верхня межа елементів послідовності , то, згідно з властивістю точної верхньої межі, для будь-якого існує номер такий, що . Так як послідовність неспадна, то при виконується нерівність . З іншого боку, згідно з означенням точної верхньої межі, для всіх . Таким чином, при маємо нерівність , тобто при . Отже, .
Для випадку незростаючої послідовності доведення аналогічне.
*** Із теорем 2.5** і 2.8** випливає, що обмеженість монотонної послідовності є необхідною і достатньою умовою її збіжності.