Границя числової послідовності. Число називається границею послідовності , якщо для будь-якого числа існує такий номер , що для всіх членів послідовності із номером виконується нерівність
. (2)
Якщо число є границею послідовності , то пишуть
,
а саму послідовність називають збіжною.
Послідовність, яка не є збіжною, називається розбіжною.
Приклад.Довести, що .
Доведення. Задамо довільне число і покажемо, що існує таке натуральне число , що для всіх членів послідовності із номером виконується нерівність .
Оскільки , то
.
Розв'язавши відносно нерівність , маємо .
Якщо в значенні узяти цілу частину числа , тобто покласти , то нерівність <ε виконується для всіх . Отже, .
Якщо послідовність збіжна і , то будь-який її елемент можна подати у вигляді , де - елемент нескінченно малої послідовності .
Дійсно, якщо , то послідовність є нескінченно малою, оскільки для будь-якого існує такий номер , що для виконується нерівність , тобто .
Має місце й обернене твердження. Якщо можна подати у вигляді , де - нескінченно мала послідовність, то .
Нерівність (2) рівносильна нерівності або ,
із якої випливає, що знаходиться в околі точки . Отже, означення границі числової послідовності можна дати наступним чином.
Число називається границею послідовності , якщо для будь-якого числа існує такий номер , що всі члени послідовності із номером знаходяться в околі точки .
Очевидно, що нескінченно велика послідовність не має границі. Іноді говорять, що вона має нескінченну границю і пишуть
.
Якщо при цьому, починаючи з деякого номера, всі члени послідовності додатні ( від'ємні ), то пишуть .
Усяка нескінченно мала послідовність збіжна, причому .
Це безпосередньо випливає з означення границі числової послідовності й означення нескінченно малої числової послідовності.