Основні властивості нескінченно малих послідовностей
Теорема. Сума (різниця) двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.
Доведення. Нехай і - нескінченно малі послідовності. Задамо довільне . Тоді існує такий номер , що при , й існує такий номер , що при . Виберемо . Тоді при виконуватимуться нерівності і . Отже, при
.
Звідси випливає, що послідовності і нескінченно малі.
Наслідок. Алгебраїчна сума будь-якого скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.
Теорема. Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу є нескінченно малою послідовністю.
Доведення. Нехай - обмежена послідовність, а - нескінченно мала. Оскільки обмежена, то існує таке число , що для всіх виконується нерівність . Задамо довільне . Оскільки послідовність нескінченно мала, то існує такий номер , що при виконується нерівність . Отже, при
.
Звідси випливає, що послідовність нескінченно мала.
Наслідок 1. Добуток нескінченно малої послідовності на число є нескінченно малою послідовністю.
Наслідок 2. Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.
Дійсно, якщо послідовність нескінченно мала, то вона обмежена. Отже, добуток двох нескінченно малих послідовностей можна розглядати як добуток нескінченно малої послідовності на обмежену.
Із наслідку 2 випливає, що добуток скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.
Зауваження. Стосовно частки двох нескінченно малих послідовностей у загальному випадку нічого сказати не можна, оскільки вона може бути нескінченно малою, постійною, нескінченно великою послідовністю або взагалі не визначеною.