• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Збіжність по розподілу

Збіжність середньоквадратичних

Класифікація збіжностей випадкових величин

Закон великих чисел

Маємо необмежену послідовність незалежних довільно, але однаково розподілених випадкових величин з . Якщо дві випадкові величини мають однаковий розподіл, то у них одинакові математичні сподівання і дисперсії. Показати самим, що

Спрямуємо до нескінченності.

Використовуючи розмірковування приведені в кінці теореми Бернуллі (стандартний прийом математичної статистики) є одне фізично-існуюче випробування, що породило фізично-існуючу випадкову величину . разів повторили випробування і зафіксували результати у кожному повторі, тоді середнє арифметичне цих результатів при достатньо великій кількості повторів випробувань наближено дорівнює мат. сподіванню фізично-існуючої величини .

Послідовність випадкових величин по ймовірності збігається до випадкової величини , якщо існує наступний ліміт

Приклад 1. Теорема Бернуллі.

Послідовність випадкових величин при по ймовірності збігається до числа .

Приклад 2. Закон великих чисел

Довести, що послідовність випадкових величин по ймовірності збігається до константи , що є її математичним сподіванням. при

Послідовність випадкових величин збігається до випадкової величини середньоквадратичної, якщо існує ліміт:

Покажемо, що збіжність середньоквадратичних принаймні не гірша, ніж збіжність по ймовірності: якщо існує збіжність середньоквадратичного, то існує збіжність по ймовірності.

Доведення:

Запишемо нерівність Чебишева

. Тоді спрямуємо до нескінченності. . Із ланцюжка нерівностей отримаємо збіжність по ймовірності. (Довести самостійно).

Маємо послідовність випадкових величин . Побудуємо відповідну послідовність їх функцій розподілу. . Нехай ця послідовність слабо збігається до функції , що є функцією розподілу випадкової величини . Тоді кажуть, що послідовність випадкових величин збігається по розподілу до випадкової величини .

Примітка! Слаба збіжність – це збіжність функції до функції в кожній точці її неперервності (якщо – неперервна, то слаба збіжність – просто збіжність).

Наслідок. Якщо , і – точки, в яких функція – неперервна, існує ліміт:

Примітка! Друга рівність має місце тільки тоді, коли існує

Центральна скалярна гранична теорема

(частковий випадок) дається без доведення.

Маємо послідовність незалежних довільно, але однаково розподілених випадкових величин

, у яких ,

Примітка! На екзамені показати самим, що якщо дві випадкові величини однаково розподілені, то у них однакове математичне сподівання і однакова дисперсія.

Розглянемо послідовність випадкових величин

– послідовність нормованих сум . Тоді при послідовність випадкових величин по розподілу збігається до нормованої нормально розподіленої випадкової величини , то мажмо не слабу збіжність, а просто збіжність, тобто:

Примітка! Для строгого доведення цієї теореми потрібно знати властивості характеристичної функції , де

Наслідок 1. Теорема Муавра-Лапласа – частковий випадок центральної граничної теореми.

Послідовність нормованих сум по розподілу збігається.

Наслідок 2. Так як в центральній граничній теоремі сума нормується лише для того, щоб на нескінченності не мати нескінченних параметрів,

· то центральна гранична теорема застосовується, коли доданків не менше 20-40

· то для обмеженого можна не нормувати суму.

Приклад. Для

а випадкова величина

Наслідок 3. Є фізичне одне випробування . Провели повторів і зафіксували результат Тоді використовуючи наслідок теореми Бернуллі число можна вважати реалізацією , де – незалежні віртуальні копії фізично-існуючої випадкової величини .

Загальний випадок центральної граничної теореми (дається без доведення і в інженерній інтерпретації)

Маємо достатньо велику кількість (на практиці незалежних довільно і неоднаково розподілених випадкових величин, які у випробуваннях приймають значення одного порядку (жодна з випадкових величин не домінує над іншою) тоді їх сума розподілена нормально.

Наслідок. Покажемо, що інтегральна похибка вимірювань є сумою 8-12 незалежних складових, кожна з яких не домінує над іншою. (виконується загальний варіант центральної граничної теореми).

Читайте також:

1. I. Доповнення до параграфу про точкову оцінку параметрів розподілу
2. Авоматизація водорозподілу регулювання за нижнім б'єфом з обмеженням рівнів верхнього б'єфі
3. Автоматизація водорозподілу з комбінованим регулюванням
4. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
5. Автоматизація водорозподілу регулювання зі сталими перепадами
6. Автоматизація водорозподілу регулюванням з перетікаючими об’ємами
7. Автоматизація водорозподілу регулюванням за верхнім б'єфом
8. Автоматизація водорозподілу регулюванням за нижнім б'єфом
9. Аналіз ефективності використання каналів розподілу
10. Аналіз розподілу прибутку підприємства
11. Аналіз розподілу прибутку.
12. Аналіз розподілу чистого прибутку.

Переглядів: 868