• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Теорема Бернуллі

Коефіцієнт кореляції

Функція коефіцієнт коваріації

Має місце формула:

, де (*)

Примітка! Доведення не приводиться, можна довести самим, використавши кратні інтеграли чи кратні суми.

Покажемо відповідність дужки і формули (*)

Нехай для дужки , функція , , , .

Використовуючи цю формулу, отримаємо:

Примітка! Константа виноситься з-під знака мат. сподівання.

Наслідок. Якщо – незалежні, то . Зворотнє твердження не вірне!.

Доведення на прикладі.

Нехай має нормальний розподіл з 0 математичним сподіванням. , тоді і зв’язані функціонально.

, усі непарні початкові моменти дорівнюють 0.

Нормованої величиною зветься велична виду

Властивості нормованої величини:

1) Математичне сподівання дорівнює 0.

2) Дисперсія дорівнює 1.

Самостійно довести формули:

Коефіцієнтом кореляції випадкової величини зветься коефіцієнт коваріації для нормованих величин.

Властивості коефіцієнта кореляції:

Розглянемо формулу:

Примітка!

Висновок. Якщо випадкові величини незалежні чи їх коваріаця дорівнює 0, то дисперсія їх суми (різниці) дорівнює сумі дисперсії.

Наслідок. Дисперсія суми (різниці) випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій подвоєна сума відповідної коваріації.

Розглянемо

1)

2) Якщо , то , де і – , тобто і зв’язані лінійно.

Доведення:

а)

Таким чином:

б)

3) Коефіцієнт кореляції є якісна міра ступеня лінійного зв’язку між випадковими величинами : чим ближче по модулю коефіцієнт кореляції до 1, тим тісніший зв’язок між величинами .

Доведення:

Відомо (Смирнов, Дуниин-Барковський «Курс теории вероятностей и математической статистики»), що будь-які дві довільні випадкові величини можна представити у вигляді:

, де , причому, якщо , то і – це коефіцієнти, що беруться з властивості пункту 2а, якщо , то і беруться з властивості 2б.

Нехай близько до 1. Проведемо випробування над випадкової величиною . Нехай прийняло певне значення , тоді у цьому випробуванні приймає відповідне значення , яке є додатнім чи від’ємним, але по модулю тим менше, чим ближче до1.

Тоді отримаємо множину векторів на площині, які групуються відносно прямої і ти м тісніше, чим ближче до 1.

Маємо незалежних випробувань Бернуллі (в кожному випробуванні настає подія чи з ймовірністю і відповідно).

З кожним і-им випробуванням зв’язуємо дискретну випадкову величину , що задається табличкою

, якщо в і-ому випробуванні настала подія , то , якщо , то .

Так як випробування Бернуллі незалежні, то випадкові величини – незалежні.

– це випадкова величина – кількість разів появи події в незалежних випробуваннях Бернуллі.

Знайдемо

Розглянемо випадкову величину – частість наставання події в незалежних випробуваннях Бернуллі.

Запишемо нерівність Чебишева

Спрямуємо до нескінченності

. Отримали результат:

при кількості випробувань, що прямує до нескінченності, частість наставання події по ймовірності збігається з теоретичною ймовірності наставання . Це означає, що при необмежених великих будь-яка реалізація з ймовірністю 1 не відрізняється по модулю від аксіоматичної ймовірності на стільки завгодно мале число , тобто виродилась у константу .

Використаємо стандартний прийом математичної статистики: є фізично-існуюче випробування, що породило простір елементарних подій . Беремо довільну подію і з нашим випробуванням зв’язуємо випадкову величину , що задається табличкою:

.

разів повторили фізично-існуюче випробування, в кожному з яких випадкова велична приймала значення 0 чи 1.(настала –1, не настала 0).

Стандартний прийом математичної статистики полягає в наступному: в результаті повторів випробування над фізично-існуючою випадкову величину можна вважати результатом одного композиційного випробування (композицією віртуальних незалежних випробувань, кожне з яких є незалежною копією фізично-існуючого випробування, і кожне таке випробування породжує віртуальну випадкову величину , що є незалежною віртуальною копією фізично-існуючої .

Наприклад, результатами разів підкидання монети фізично-існуючою однією людиною можна вважати підкидання монети в різних кімнатах незалежною копією фізично-існуючої людини. З цього випливає, що частість наставання події є реалізацією віртуально-існуючої випадкової величини .

Читайте також:

1. В. Друга теорема про розклад.
2. Граничні теореми у схемі Бернуллі
3. Друга теорема Вейєрштрасса
4. Елементи гідроаеродинаміки. Рівняння Д. Бернуллі
5. І. Метод Бернуллі.
6. Інтегральна теорема Лапласа
7. Локальна теорема Лапласа
8. Магнітний потік. Теорема Гауса для магнітного поля
9. Момент інерції. Теорема Гюйгенса-Штейнера
10. Напряженность поля. Теорема Гаусса
11. Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій
12. Опукле програмування. Необхідні та достатні умови існування сідлової точки. Теорема Куна-Такера.

Переглядів: 914