Доведення. Припустимо, що збіжна послідовність має дві різні границі і , тобто . Тоді та , де і - елементи нескінченно малих послідовностей та . Отже, або Оскільки, за властивістю нескінченно малих послідовностей, є елементами нескінченно малої послідовності, а постійне число, то . Таким чином, .
Теорема. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.
Доведення. Нехай і - номер, починаючи з якого виконується нерівність , де . Тоді
для всіх . Виберемо . За цієї умови для будь-якого .
Зазначимо, що не всяка обмежена послідовність є збіжною. Наприклад, послідовність обмежена, але не збіжна.
Теорема 2.6. Якщо і - збіжні послідовності, то:
1. Послідовність , яка є сумою (різницею) збіжних послідовностей та , збіжна і її границя дорівнює сумі (різниці) границь цих послідовностей, тобто .
2. Послідовність , яка є добутком збіжних послідовностей й , збіжна і її границя дорівнює добутку границь цих послідовностей, тобто .
3. Послідовність , яка є часткою збіжних послідовностей та , за умови , збіжна і її границя дорівнює частці границь цих послідовностей, тобто .
Доведення. Нехай і - збіжні послідовності та . Тоді і , де й – елементи нескінченно малих послідовностей і . Покажемо, що має місце:
1) .
Оскільки є елементами нескінченно малої послідовності , то звідси випливає, що .
2) .
Оскільки є елементами нескінченно малої послідовності , то .
Тобто .
3)
Послідовність є нескінченно малою. Покажемо, що послідовність обмежена. Оскільки і , то для існує такий номер , що для всіх виконується нерівність ,
отже, , тобто , а тому для всіх . Звідси випливає, що послідовність обмежена.
Таким чином, послідовність нескінченно мала, а тому
,
тобто
, де .
Зауваження. Пункт 1) наведеної теореми допускає узагальнення на довільне скінченне число доданків. Пункт 2) - на довільне скінченне число множників. Із пункту 2) випливає, що постійний множник можна виносити за знак границі, тобто