• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Підпослідовність числової послідовності

Нехай задана деяка послідовність . Розглянемо довільну зростаючу послідовність натуральних чисел . Виберемо з послідовності елементи з номерами , і розмістимо їх в тому самому порядкові, що і числа .

Одержана числова послідовність називається підпослідовністю послідовності . Можна встановити, що коли послідовність збіжна і має границею число , то будь-яка її підпослідовність також збіжна й має границею число .

3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса

Теорема. Із будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення. Нехай послідовність обмежена, тобто існує такий відрізок , що для всіх виконується нерівність . Поділимо відрізок пополам. Тоді принаймні в одній половині буде міститися нескінченна множина елементів послідовності . Позначимо цю половину . Поділимо тепер відрізок на два рівних відрізки і знову виберемо той із них, у якому міститься нескінченна множина елементів послідовності . Позначимо його . Продовжуючи цей процес, дістанемо послідовність укладених відрізків

,

у яких довжина -го відрізка прямує до нуля при . Отже, за теоремою про вкладені відрізки .

Побудову підпослідовності послідовності виконаємо так: у значенні виберемо довільний елемент із , який належить відрізку , у значенні - довільний елемент із , котрий належить відрізку і т. д. Оскільки для вибраних таким чином елементів виконується нерівність , то за теоремою 2.7 .

4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.

Означення границі числової послідовності не дає змоги встановлювати збіжність чи розбіжність числової послідовності, якщо не задано значення самої границі. Воно лише дає можливість перевіряти, чи є число границею даної послідовності, чи ні. Отже, виникає необхідність у наявності критерію збіжності числової послідовності, у якому б саме значення границі було відсутнє, тобто щоб цей критерій виявив "внутрішню" структуру збіжної послідовності. Такий критерій був установлений чеським математиком Больцано і французьким математиком Коші. Нині він має назву критерію Коші.

Теорема. Для того, щоб числова послідовність була збіжною, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого числа існував номер такий, що нерівність

(7)

виконувалася б для всіх , які одночасно задовольняють умову .

Доведення. Необхідність. Нехай послідовність збіжна і . Задамо довільне число . За означенням границі існує такий номер , що

(8)

для всіх . Зрозуміло, що коли , то для всіх таких нерівність (8) виконується. Отже, нехай . Тоді

Необхідність доведено.

Достатність. Нехай для будь-якого існує номер , такий, що для всіх , які одночасно задовольняють умову . Доведемо, що при цьому послідовність збіжна. Нехай заданому відповідає номер , для якого виконується нерівність (7) для всіх . Зафіксуємо одне із значень . Тоді за умовою (7) виконуються нерівності

тобто всі члени послідовності, починаючи з , знаходяться в околі фіксованої точки . Звідси випливає, що послідовність обмежена. Отже, згідно з теоремою Больцано-Вейєрштрасса, із неї можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай . Тоді є також границею послідовності . Дійсно, можна вибрати настільки великим, щоб одночасно виконувались нерівності . Тоді, поклавши , матимемо і . Звідси одержуємо

для всіх . А це означає, що .

Послідовність називається фундаментальною або послідовністю Коші, якщо для будь-якого числа існує номер такий, що для всіх , котрі одночасно задовольняють умову , виконується нерівність .

ЛЕКЦІЯ 9

17. Поняття метричного простору.

18. Повні метричні простори. Теорема Бера.

19. Доповнення простору.

1. Поняття метричного простору

Означення метричного простору. Багато фундаментальних фактів математичного аналізу не пов'язані з алгебраїчною природою дійсних чисел, а спираються лише на поняття відстані.

Узагальненням уявлень про дійсні числа як про множину, в якій уведено відстань між елементами, є поняття метричного простору.

Метричним простором називається пара , що складається з деякої множини елементів (точок) і відстані – однозначної, невід'ємної функції, визначеної для будь-якої пари , яка задовольняє наступні аксіоми:

1) тоді і тільки тоді, коли ;

2) (аксіома симетрії);

3) (аксіома трикутника).

Сам метричний простір, як правило, позначається .

Множина дійсних чисел із відстанню

утворює метричний простір, що позначається .

Виконання аксіом метричного простору для введеної таким чином відстані випливає із властивостей абсолютної величини дійсного числа.

Відкритою кулею у метричному просторі називається сукупність точок , які задовольняють умову

.

Відкрита куля радіуса з центром називається -околом точки і позначається .

У просторі відкритою кулею з центром є множина точок , для яких виконується нерівність

,

а − околом точки є множина точок , для яких

.

Точка називається точкою дотику множини , якщо будь-який її окіл містить хоча б одну точку з . Сукупність усіх точок дотику множини позначається і називається замиканням цієї множини.

Точка називається граничною точкою множини , якщо будь-який її окіл містить нескінченно багато точок із .

Гранична точка може належати, а може і не належати .

Точка називається ізольованою точкою множини , якщо вона належить і існує такий -окіл точки , у якому немає точок із , за винятком самої точки .

Усяка точка дотику множини є або гранична, або ізольована точка цієї множини.

Нехай – послідовність точок у метричному просторі . Говорять, що ця послідовність збігається в точці , якщо таке, що .

Інакше це означення можна сформулювати так: послідовність збігається до , якщо.

Теорема. Щоб точка була точкою дотику множини , необхідно і достатньо, щоб існувала послідовність точок із , яка збігається до .

Нехай – дві множини простору . Множина називається щільною у , якщо . Зокрема, множина називається скрізь щільною у просторі , якщо .

Наприклад, множина раціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій.

Множина називається ніде не щільною, якщо вона не щільна в жодній кулі, тобто в кожній кулі існує інша куля , яка не має з жодної спільної точки.

Простори, в яких є злічена скрізь щільна множина, називаються сепарабельними.

Множина метричного простору називається замкнутою, якщо , тобто якщо вона містить усі свої граничні точки.

Відрізок числової прямої є замкнутою множиною.

Теорема. Переріз будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною. Сума будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною.

Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо існує окіл цієї точки, який цілком міститься в .

Множина, всі точки якої − внутрішні, називається відкритою.

Інтервал числової прямої є відкритою множиною.

Теорема. Щоб множина була відкрита, необхідно і достатньо, щоб її доповнення до всього простору було замкнутим.

Теорема. Об'єднання (скінченного або нескінченного) числа відкритих множин є відкритою множиною. Переріз (скінченного або нескінченного) числа відкритих множин є відкритою множиною.

Теорема 1.5. Усяка відкрита множина на числовій прямій є сумою (об'єднанням) скінченного або зчисленного числа інтервалів, які попарно не перетинаються (не мають спільних елементів).

Читайте також:

1. Визначення послідовності вогнепальних поранень.
2. Визначення послідовності обробки поверхонь заготовки
3. Виявлення послідовності
4. Встановлення факту віднесення аварійної події до рангу НС, ви­значення виду та рівня НС проводиться у такій послідовності.
5. Детекція послідовності
6. Економічна і математична постановка цілочислової задачі лінійного програмування
7. Залежно від юридичної спрямованості та послідовності досягнення цілей договори поділяються на основні та попередні.
8. Збіжні послідовності
9. Монотонні послідовності
10. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
11. Нехай задано послідовності і .
12. Обґрунтування вибору технологічних баз і встановлення послідовності оброблення поверхонь заготовки

Переглядів: 4580