Послідовність точок метричного простору називається фундаментальною, якщо вона задовольняє критерій Коші, тобто якщо таке, що
.
Якщо в просторі будь-яка фундаментальна послідовність збігається, то цей простір називається повним.
Простір дійсних чисел є повним.
Щоб метричний простір був повним, необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка послідовність укладених одна в одну замкнутих куль, радіуси котрих прямують до нуля, мала непорожній переріз.
Теорема Бера. Повний метричний простір не можна подати у вигляді об'єднання зліченного числа ніде не щільних множин.
Із теореми Бера зокрема випливає, що всякий повний метричний простір без ізольованих точок незліченний.