Границя функції у точці, границя функції на нескінченності. Геометричний зміст. Однобічні границі.

Число А називається границею функції f(x) при х → +∞ (х → −∞),якщо для довільного малого числа ε > 0, знайдеться таке число Μ, що для всіх х > Μ (х < Μ) виконуватиметься нерівність <ε. Символічно це записують так:

Нехай функція y = f(x) визначена в деякому околі точки х0 (у самій точці х0 функція f(x) може не існувати).Число А називається границею функції f(x) у точці х0 (при х → х0),якщо для довільного малого ε > 0 існує таке число δ (ε) > 0, що для всіх x D(f), які задовольняють умову 0 < х − х0 < δ, виконується нерівність f(x) − A < ε. Записують це так:

, або f(x) → A при

Означення границі функції в точці х0 було дано незалежно від способу прямування змінної х до точки х0. Якщо х → х0 зліва (х < х0), і при цьому функція f(x) прямує до числа то число . називають лівосторонньою границею Аналогічно визначається правостороння границя . Лівостороння й правостороння границі називаються односторонніми границями.

32.Нескінченно малі і нескінченно великі функції, зв'язок між ними, властивості. Теореми про нескінченно малі функції. Порівняння нескінченно малих функцій.

Послідовність {х_п} називається нескінченно малою, якщо lim x_n= 0.

Послідовність {х_п} називається нескінченно великою, якщо lim x_n=¥.

Сума скінченого числа нескінченно малих послідовностей є нескінчена мала послідовність.

Добуток нескінченно малої послідовності і обмеженої є нескінченно мала послідовність.

Якщо {х_п} нескінченно мала послідовність і x_n¹0, то послідовність y_n = є нескінченно великою. Якщо {y_n} нескінченно велика послідовність, то послідовність x_n= є нескінченно малою послідовністю.

Властивості н.м.ф.:

Сума і добуток скінченності і кількості н.м.ф.при х®х₀ або х®¥ або х® -¥, а також добуток і частка н.м.ф. на обмежено малу функцію є неск. Малими ф-ціями :

1)0+0+0+0+...+0=0

2)0*0*0*0*....*0=0

3)0*с=0

4)0/с=0

Властивості н.в.ф.

1)Сума н.в.ф. одного знака є н.в.ф. тогож знака; ¥+¥=¥;

2)сума н.в.ф.й обмеженої функції є н.в.ф.; ¥+с=¥;

3)добуток двох н.в.ф.є н.в.ф.; ¥ * ¥ = ¥

4)добуток н.в.ф. на фунцію, що має відміну від 0 гтаницю є н.в.ф.; ¥*с=¥;

5)додатній степінь н.в.ф.є н.ав.ф.; ¥^a= ¥;

6) частка від ділення обмеженої функції на н.в.ф.є н.м.ф.; .з цього випливає зв`язок між н.м.ф. ін.в.ф.

Для того щоб порівняти дві нескінченно малі функції за швидкістю прямування до нуля, необхідно обчислити границю їхнього відношення.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Числова послідовність, види числової послідовності. Границя числової послідовності. Основні теореми про границю.	\|	Основні теореми про границі

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.