Похідна функції, її геометричний і механічний зміст. Однобічні похідні. Необхідна умова існування похідної

Похідною Ф-ції y=f(x) в точці х₀ наз.границя відношення приросту ф-ції до приросту аргументу коли останній прямує до нуля тобто

y’=

Приріст ф-ції:

; y’_x , f ‘_x

Якщо ф-ця має похідні в кожній точці [a,b], то вона деференційона на цьому інтервалі.

Умова існування:

Якщо ф-ція y=f(x) диференційована в точці х₀, то вона неперервна в цій точці.

Доведення:

f(x)-f(x₀)=

Перейдемо до границі, знайдемо границю при х 0

(f(x)-f(x₀))= =0

f(x)=f(x₀) отже ф-ція неперервна

Обернене твердження невірне, тобто із неперервності ф-ції випливає її диференційованість.

Геометричний зміст похідної:

Нехай задано неперервну ф-цію y=f(x) хє(а,б),L-графік ф-ції.

М(х₁,y₀) L фіксована точка виберемо точку М(x,y) L. Через точку М₀ і М проведемо січну до графіка ф-ції М₀М під кутом до осі ох.Через точку М₀проведемо дотичну під кутом до осі ох. Через точку М₀проведемо пряму MN//oy. Через точку М₀проведемо пряму M₀N//ох. В M₀ МN, M₀ МN= . MN=y-y₀, M₀N=х-х₀,тоді tg = . В основній рівності перейдемо дограниці при x х₀одержемо tg = .

tg -?якщо x х_0, tg . Таким чином похідна ф-ції в точці x₀=кутовому коефіцієнту дотично проведеної до графіка ф-ції в точці з абсцисою х₀.

40.Рівняння дотичної і нормалі до кривої.

Нехай дано точку М(х_о;у_о). Скористаемось рівнянням жмутка прямих, що проходять через дану точку в заданому напрямку. у-у_о=к(х-х_о), к = у^/(х_о).Тоді у –у_о= у^/(х_о)(х-х_о)

у= у(х_о)+ у^/(х_о)(х- х_о)- рівняння дотичної.

Відомо що дотична і нормаль – перпенд між собою.А тому к нормалі буде дорівнювати: к_N= - 1/к = - 1/у^/(х_о), у-у_о= - 1/у^/(х_о) *(х-х_о)

у = у_о- 1/у^/(х_о) *(х- х_о)- рівняння нормалі.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Неперервність функції на відрізку. Властивості функцій, неперервних на відрізку	\|	Основні правила диференціювання. Похідна суми, різниці, добутку й частки. Похідна складної функції.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.