• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Первісна і її властивості. Невизначений інтеграл і його властивості. Основні правила інтегрування.

Нехай дано ф-цію у= f(x).Необхідно знайти таку ф-цію F(x), пох. від якої дор.f(x),тобто F’(x) = F(x).

Ф-ція F(x) наз. первісною для ф-ції F(x) на [a,b], якщо у всіх точках цього відрізку виконується рівністьF’(x)=f(x).

Первісна має наступні властивості:

1.Якщо F(x) є первісною для ф-ції f(x), то F(x)+c,c=const також є первісною для ф-ції f(x) .Дійсно (F(x)+c)’=F’(x)+0=f(x).

2.Якщо F₁(x) і F₂(x) для f(x) то F₁(x)-F₂(x)=c,c=const

Доведення

F₁(x)-F₂(x) – деяка ф-ція, що залежить від х .Тоді її похідна буде дор. F₁‘(x)-F’₂(x)=f(x)-f(x)=0 => F₁(x)-F₂(x)=c,c=const.

3.Якщо F(x) первісна f(x),то ф-ція f(ax) має первісну 1/a F(ax).Дійсно (1/aF(ax))’=1/a F’(ax)=f(ax)/

4.F(x) первісна для f(x), то ф-ція F(ax)+b) має первісну 1/bF(ax+b).Дійсно (1/aF (ax +b))’=1/aF’(ax+b)a=F’(ax+b)=f(ax+b).

Невизначеним інтегралом ф-ції F(x)на відрізку [a,b] наз. множина всіх первісних даної ф=ції на даному інтервалі виду F(x)+c де F(x) - одна із первісних, а c=const.

Властивості:

1.Похідна від невизначеного інтегралу дор. підінтегральній ф-ції.

2.Диференціал від невизначеного інтегралу дор. підінтегральному виразу.

3.Невизначений інтеграл від диференційованої ф-ції дор. цій ф-ції складеній з довільного стану.

4.Сталий множник можна виносити за знак інтегралу.

5.Сума або різниця ф-цій дор первісній суми або різниці цих ф-цій.

.Безпосереднє – це знаходження невизначеного інтеграла з використанням його властивостей, таблиці інтегрування інтегралів і в разі необхідності тотожних перетворень підінтегральної ф-ції.

2.Інтегрування частинами – це знаходження інтеграла за допомогою спеціальної формули, що має назву формули інтегрування частинами. ∫xdv=uv-∫vdu. d(uv)=(uv)’dx=(u’v+uv’)dx=u’vdx+uv’dx=vdu+udv. ∫d(uv)= ∫vdu+∫udv. Uv=∫vdu+∫udv.

Ця формула заст. в тих випадках, коли під знаком інтегралу знах. добуток двох функцій: алгебраїчної та геометричної. Вираз розділяється на дві частини, які позначаються через “u” та “dv”. Після цього виконуємо обчислення за формулою.

57.Інтегруваання методом заміни змінної.

Нехай потрібно знайти ∫f(x)dx, причому безпосередньо підібрати первісну F(x) для ф-ї f(x) не можемо,але знаємо, що вона існує. Зробимо заміну змінної в підінтегральний вираз: нехай x=j(t) де j(t) – неперервна, з неперервною похідною, яка має обернену ф-ю dx=j’(t)dt. Доведемо, що в цьому випадку має місце наступна формула ∫f(x)dx=∫f(j(t)*j’(t)dt). Проінтегруємо ліву і праву частини формули. (∫f(x)dx)’_x=f(x)

∫f(j(t)j’(t)dt)’_x=f(j(t))j’(t)t’_x

dx=j’(t)dt dx/dt=j’(t) dt/dx=1/j’(t)

Тоді,маємо f(j(t))j’*1/j’(t)=f(j(t))

Таким чином ми показали, що похідні від лівої і пр. частини рівні.

Формула інтегрування частинами для невизначеного інтеграла.

∫udv =uv −∫vdu.

Читайте також:

1. I. ЗАГАЛЬНІ ПРАВИЛА.
2. I. Застосування похідної та інтеграла до роз’язування задач елементарної математики.
3. I. ОСНОВНІ ЕТАПИ ВИКОНАННЯ КУРСОВОЇ РОБОТИ
4. II. Основні закономірності ходу і розгалуження судин великого і малого кіл кровообігу
5. II. Основні засоби
6. II. ОСНОВНІ ПОВНОВАЖЕННЯ ТРУДОВИХ КОЛЕКТИВІВ
7. II. Правила щодо аргументів.
8. II.3. Основні способи і прийоми досягнення адекватності
9. III. Основні обов'язки робітників та службовців
10. IV. Основні обов'язки адміністрації
11. IV. Правила
12. V. Етичні правила психологічних досліджень

Переглядів: 919