• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Короткі теоретичні відомості

Багато процесів в природі являються періодичними (зміна пори року, артеріального тиску, тощо). Періодичність властива процесам, що відбуваються в біологічних системах (біоритми). Більшість із з них можна розглядати, як коливні. Коливним називається рух, що повторюється через певний проміжок часу. Цей проміжок часу, протягом якого повторюються значення всіх фізичних величин, що характеризують коливний рух називається періодом. За один період здійснюється одне повне коливання. Коливний рух, що відбувається без дії зовнішніх сил, тобто під дією тільки внутрішніх сил системи, називаються вільними коливанням. Для медиків і біологів важливі поздовжні коливання середовища – звук, інфразвук та ультразвук. Їхні фізичні властивості широко використовується в медицині.

Найзручнішим і простим об'єктом для дослідження коливних процесів є механічна система з одним ступенем вільності , тобто така система, положення якої в просторі у будь-який момент часу повністю визначається одним числом – координатою. Класичним прикладом такої системи є математичний маятник. Математичний маятник це абстракція: на невагомій нерозтяжній нитці висить матеріальна точка (тіло, що має масу, але не має розмірів). Центр ваги такої системи співпадатиме з центром ваги матеріальної точки. Практично такий маятник створити неможливо, але маленька кулька, підвішена на нитці, розміри якої у багато разів більші за розміри кульки, за своїми властивостями близька до математичного. Якщо таку систему, вивести з положення рівноваги на малий кут, вона буде здійснювати гармонічні коливання. Коливання називаються гармонічними, якщо вони описуються рівнянням

(1)

Тут x – відхилення від положення рівноваги, t – час, ω –кутова частота, А – амплітуда, – початкова фаза. Весь вираз ( ) називається фазоюколивання. Кутова частота пов'язана з циклічною частотою n(числом коливань в одиницю часу) і періодом коливаньТ формулами і . Одиниця вимірювання кутової частоти в системі одиниць СІ – радіани в секунду (рад/с).

Вільне коливання системи є простими гармонічними, якщо повертаюча сила хоча б в першому наближенні (при малих зсувах) пропорційна зсуву, тобто є квазіпружноюсилою. Тоді диференціальне рівняння руху може бути представлено у вигляді

(2)

де m визначає інерцію системи, а (–kx) є повертаюча сила (в узагальненому значенні). Частота власних коливань зв’язана з коефіцієнтами рівняння (2):

(3)

Зупинимось більш детально на розгляді коливань математичного маятника. Рівняння руху коливань математичного маятника - це залежність дугового зсуву маятника S від часу t (рис.1).

Для отримання закону коливання маятника використовуємо рівняння руху Ньютона:

.

(4)

На кульку маятника діє сила тяжіння і сила натягу нитки .

Рис.1. Математичний маятник

Виведемо маятник з положення рівноваги на малий кут j. Розкладемо силу на дві складові і . Сила забезпечує коливання маятника. Модуль цієї сили рівний . Використовуючи закон (4), отримаємо . Оскільки , а , то:

(5)

Це і є диференціальне рівняння гармонічного коливання. Тут , -власна циклічна частота гармонічного коливання. Розв’язок цього рівняння дає закон коливань математичного маятника , де - амплітуда коливань (максимальне зміщення маятника від положення рівноваги). Знаючи частоту , можна обчислити період (час одного повного коливання) власних коливань маятника Т:

(6)

Залежність (6) дозволяє визначити прискорення вільного падіння в даному місці Землі по відомому періоду коливань.

Коливання в реальних системах ніколи не відбуваються згідно рівняння (5): у них завжди діють дисипативні сили, що перетворюють механічну енергію на теплову. Відбувається загасання коливань і в цьому випадку коливання вже не будуть гармонічними, оскільки в них змінюється амплітуда коливань і частота, що в свою чергу приводить до зміни періоду коливань. Простим, з математичної точки зору, прикладом таких сил є сили опору. При дії сил опору амплітуда і швидкість коливального руху зменшуються. Практично, найбільший інтерес представляють випадки коливань з невеликими швидкостями, при яких сила опору пропорційна швидкості :

,

(7)

де - коефіцієнт опору. В цьому випадку рівняння руху маятника запишеться в наступному виді:

(8)

тобто, крім сили на тіло діє сила опору . Розв’язком цього рівняння є функція виду:

(9)

або вводячи позначення , де отримаємо

(10)

З рівняння (10) слідує, що амплітуда коливань зменшується з часом згідно експоненціального закону (рис.2).

Рис.2. Залежність ампдітуди коливань від часу при затухаючих коливаннях.

Відношення амплітуд коливань, що за часом віддалені один від одного на період, називається декрементом загасання.

(11)

Натуральний логарифм цього відношення називається логарифмічним декрементом загасання:

(12)

тут - коефіцієнт загасання. Із (12) знаходимо зв’язок між величинами і :

(13)

Логарифмічний декремент загасання характеризує швидкість зменшення амплітуди і залежить від коефіцієнта опору r середовища. Формулу (9) можемо записати в іншому виді:

(9а)

З формули (9а) видно, що величина, зворотня декременту загасання (точніше, ціла частинацього числа), рівна кількості коливань, за яку амплітуда зменшиться в =2,718 раз.

Для загасаючих коливань із розв’язку рівняння (9) отримаємо значення частоти коливань:

(14)

або враховуючи , :

(15)

Таким чином, частота вільних коливань системи з тертям нижча за частоту коливань тієї ж системи без врахування тертя.

Інколи коефіцієнт загасання співвідносять не періоду T, а часу t коливань. Тоді логарифмічний декремент загасання можна визначити, знаючи значення амплітуди коливань і у які-небудь два моменти часу t₁ і t₂:

(16)

Читайте також:

1. D - порушення стану свідомості (Disability).
2. II.ТЕОРЕТИЧНІ ПИТАННЯ КУРСОВОЇ РОБОТИ
3. IX. Відомості про військовий облік
4. IX. Відомості про військовий облік
5. L. Ефективність праці: теоретичні аспекти
6. Q Конституція України від 28 червня 1996 р. // Відомості Верховної Ради України – 1996 - № 30 – Ст. 141
7. V Практично всі психічні процеси роблять свій внесок в специфіку організації свідомості та самосвідомості.
8. VIІ. Короткі методичні вказівки до роботи студентів на практичному занятті
9. Активне управління інвестиційним портфелем - теоретичні основи.
10. Білковий обмін: загальні відомості
11. Біографічні відомості
12. Боротьба з проявами національної самосвідомості

Переглядів: 632