• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Частинні похідні, частинний диференціал.

Диференційне числення функцій багатьох змінних.

Маємо Візьмемо точку довільні прирости.

приріст функції.

частинний приріст по змінній .

частинний приріст по змінній .

частинний приріст по змінній .

Означення.Якщо існує скінченна границя відношення частинного приросту функції до відповідного приросту аргументу то вона називається частинною похідною по відповідній змінній. Можливі інші позначення:

Приклад.Знайти частинні похідні функцій:

в точці знайдемо похідні за означенням:

Добуток частинної похідної на довільний приріст називається частинним диференціалом:

Нагадаємо, що для диференційовна в точці якщо де і диференційовність ототожнювалась з існуванням похідної. Аналогічна формула має місце для функції трьох змінних.

Означення диференційованості. називається диференційовною в точці , якщо повний приріст функції в цій точці можна подати у вигляді де що не залежать від , а залежить від метрики простору: - віддаль між точками та .

Якщо функція диференційовна, то лінійна частина повного приросту функції називається повним диференціалом.

Теорема(про існування частинних похідних).Якщо функція , диференційовна в точці , то існують частинні похідні:

Доведення. Дійсно, якщо функція диференційовна в точці , то

Нехай тоді і існує Аналогічно для

Отже диференційовна в точці , якщо

Приклад. Дослідити на диференційовність в точці (0,0).

не існує. Отже, функція недиференційована в точці (0,0).

Відмітимо, що обернене до теореми твердження невірне, існування частинних похідних не забезпечує диференційовності функції.

Читайте також:

1. Загальний розв'язок і загальний інтеграл. Частинний та особливий розв'язки. Проміжні та перші інтеграли.
2. Лекція№7, 8.Диференціальне числення функцій однієї змінної. Похідна. Диференціал. Основні теореми диференціального числення.
3. Тема 15. Частинні похідні та диференціали вищих порядків. Застосуваня частинних похідних
4. Частинні і особливі розв’язки. Знаходження кривих, підозрілих на особливість розв’язку, по диференціальному рівнянню
5. Частинні похідні вищих порядків.
6. Частинні похідні та диференціали вищих порядків
7. Частинні похідні та повний диференціал

Переглядів: 2712