Властивості неперервного відображення на компакті

Перша теорема Вейєрштрасса.Якщо неперервне відображення компактного простору К в то обмежена на К.

Доведення. Припустимо супротивне: існує точка

Оскільки К-компактний простір, то Оскільки неперервна на К, то а з іншого боку скінчене, що суперечить умові необмеженості функції. Якщо то маємо відому теорему Вейєрштрасса для

Друга теорема Вейєрштрасса.Нехай . Тоді існує точка , в яких функція досягає свого найбільшого і найменшого значення:

Означення. довільні метричні простори. Відображення рівномірно неперервне на Е, якщо як тільки , то

Теорема Кантора (про рівномірну неперервність на компакті). Якщо - неперервне відображення компакту К в довільний простір рівномірно неперервне на К.

Мають місце аналоги теореми Больцано-Коші. Аналогом скінченному проміжку в є обмежена зв’язна область.

Означення.Множина називається зв’язною, якщо будь-які дві точки множини з’єднати ламаною зі скінченною кількістю ланок, що цілком належать множині Е.

Теорема 1. неперервне відображення зв’язної множини з в ). Якщо в двох точках і : то існує точка : .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Означення приросту	\|	Частинні похідні, частинний диференціал.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.