Перша теорема Вейєрштрасса.Якщо неперервне відображення компактного простору К в то обмежена на К.
Доведення. Припустимо супротивне: існує точка
Оскільки К-компактний простір, то Оскільки неперервна на К, то а з іншого боку скінчене, що суперечить умові необмеженості функції. Якщо то маємо відому теорему Вейєрштрасса для
Друга теорема Вейєрштрасса.Нехай . Тоді існує точка , в яких функція досягає свого найбільшого і найменшого значення:
Означення. довільні метричні простори. Відображення рівномірно неперервне на Е, якщо як тільки , то
Теорема Кантора (про рівномірну неперервність на компакті). Якщо - неперервне відображення компакту К в довільний простір рівномірно неперервне на К.
Мають місце аналоги теореми Больцано-Коші. Аналогом скінченному проміжку в є обмежена зв’язна область.
Означення.Множина називається зв’язною, якщо будь-які дві точки множини з’єднати ламаною зі скінченною кількістю ланок, що цілком належать множині Е.
Теорема 1. неперервне відображення зв’язної множини з в ). Якщо в двох точках і : то існує точка : .