• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Головні осі інерції та головні моменти інерції перерізу

Формули переходу до паралельних або повернутих осей

Моменти інерції перерізу

Осьовими моментами інерції I_z та I_y перерізу відносно будь-яких осей z та y, що лежать у площині перерізу (рисунок 6.1) називають інтеграли виду

, (6.4)

де y та z - відстані від елементарної площадки DА до осей Oz та Oy.

Відцентровим моментом інерції I_zy перерізу відносно осей Oz та Oy, які лежать у площині перерізу, називається інтеграл виду

. (6.5)

Інтеграл від добутків елементарних площадок на квадрати їх відстаней до даної точки (полюса) O (рисунок 6.1) називається полярним моментом інерції

(6.6)

Осьові і полярний моменти інерції завжди додатні, відцентровий момент інерції може бути додатним, від’ємним і рівним нулю.

Якщо полюс О збігається з початком координатних осей z, y, то

I_p=I_z+I_y (6.7)

Із (6.7) випливає, що при повороті осей координат сума осьових

Рисунок 6.3

моментів інерції залишається незмінною.

За формулами (6.4 - 6.6) легко підрахувати моменти інерції для перерізів, які часто зустрічаються на практиці. Наприклад, для прямокутника (рисунок 6.3)

. (6.8)

для круга

. (6.9)

для трикутника відносно центральної осі паралельної основі

(6.10)

Полярний момент інерції круга відносно полюса, розміщеного в центрі ваги

. (6.11)

Нехай система координат z_Cy_C проходить через центр ваги C перерізу (рисунок 6.4), а друга система yz, що має початок у точці O, паралельна їй. Відстані між осями цих систем позначимо через a і b. Якщо відомі моменти інерції площі А відносно центральних осей z_C і y_C - , то відносно осей z , y, паралельних центральним осям (рисунок 6.4) моменти інерції знаходять за формулами

Рисунок 6.5 Рисунок 6.4

(6.12)

При повороті координатних осей на кут a (рисунок 6.5) залежність між моментами інерції така:

(6.13)

. (6.14)

Кут a>0 при повороті осей проти стрілки годинника.

Момент інерції складної фігури (рисунок 6.2) дорівнює сумі моментів інерції простих фігур

(6.15)

де n - кількість окремих частин перерізу,

- момент інерції і-тої частини відносно довільно вибраних осей z, y. Тобто, для кожної частини вони взяті відносно одних і тих же осей.

Головними називають осі, відносно яких відцентровий момент інерції перерізу дорівнює нулю. Найбільший практичний інтерес мають головні центральні осі, на відміну від інших позначимо їх через u i v

Рисунок 6.6

(рисунок 6.6). В розрахункових формулах їх часто позначають також через y i z. Для визначення положення головних центральних осей u та v використаємо формулу (6.14) переходу до повернутих осей (у даному випадку до головних осей uv), підпорядкувавши її умові Iuv = 0. Тоді для знаходження кута a0 (рисунок 6.6), що визначає положення головних осей відносно

будь-яких допоміжних центральних осей zy, отримаємо

. (6.16)

Формула дає два значення кута a₀, що відрізняються на і визначають положення двох взаємно перпендикулярних головних осей інерції.

Моменти інерції відносно головних осей називаються головними моментами інерції. Головні моменти інерції мають екстремальні значення, тобто один має найбільше, а другий найменше значення із всіх отриманих при повороті осей координат. Сума осьових моментів інерції при повороті осей координат величина стала

(6.17)

Головні моменти інерції позначимо I_u , I_v або I_max , I_min . Їх можна підрахувати за формулами (6.13) з врахуванням того, що a=a₀, або

(6.18)

Із залежності (6.17) випливає, що при повороті допоміжних осей zy до збігу з головними осями uv більший з моментів інерції відносно допоміжних осей повинен збільшитися і досягти величини I_max , тоді як менший повинен зменшитися на ту саму величину й досягти I_min . Отже віссю максимального моменту завжди буде вісь, суміжна з тією допоміжною віссю (z або y), відносно якої момент інерції більший. Якщо, наприклад, I_z > I_y , то вісь u, що з віссю z становить гострий кут (рисунок 6.5), буде віссю I_max .

Потрібно відмітити, що отримані за формулою (6.16) значення a₀ потрібно відкладати проти стрілки годинника, якщо вони додатні, і за стрілкою годинника, якщо вони від’ємні.

Читайте також:

1. Базові (головні, стратегічні) психологічні проблеми управління.
2. Вибір перерізу провідників у мережах напругою до 1000 В з урахуванням плавких запобіжників
3. Вибір перерізу провідників у мережах напругою до 1000В з урахуванням автоматичних вимикачів і теплових реле
4. Визначення потрібної площі перерізу стояка.
5. Виробництво. Головні чинники зростання ефективності виробництва.
6. Геометричні характеристики поперечного перерізу
7. Головні визначення – безпека, загроза, небезпека, надзвичайна ситуація, ризик.
8. Головні визначення – безпека, загроза, небезпека, надзвичайна ситуація, ризик.
9. Головні властивості темпераменту.
10. Головні елементи зовнішньої торгівлі — експорт і імпорт.
11. Головні елементи світової економіки
12. Головні елементи світової економічної системи

Переглядів: 4394