• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Площину загального положення перетворити на проецюючу.

Пряму загального положення перетворити на проецюючу.

На рис. 6 наведено приклад перетворення прямої АВ на проецюючу, завдяки подвійній за-міні площин проекцій П₁ та П₂ на додаткові П₄ та П₅.

Спочатку пряма в системі П₁П₄перетво-рюється на пряму рів-ня, а потім у системі П₄П₅ – на проецюючу. Тому, вісь Х₁₄ проводимо паралельно А₁В₁, а вісь Х₄₅ – перпендикулярно А₄В₄. При цьому АВ спроецюється на П₅ у точку А₅ºВ₅. Це означає, що пряма АВ у новій системі площин проекцій П₄П₅ перпендикулярна до площини П₅.

На рис. 7 зображені проекції площини загального положення, яка задана трикутником АВС.

Якщо пряма h площини АВС перпен-дикулярна до площини проекцій, то й сама площина АВС буде перпендикулярною (проецюючою) до цієї площини проекцій. Тому П₂ замінюємо на П₄, перпендикулярну h₁. Вісь Х₁₄, у цьому випадку, буде перпен-дикулярною до h₁. Площина П₄ буде перпендикулярною до площини трикутника АВС. Проекцією å₄ площини АВС на П₄ буде пряма С₄А₄В₄.

Кут α визначає кут нахилу площини трикутника АВС до П₁. При перетворенні площини загального положення у проецюючу треба незмінною залишити П₂, а П₁ замінити на П₄, перпендикулярну до її фронталі.

Площина å(fìüh) (рис.8) задана горизонталлю та фронталлю,

що перетинаються. Тому в цьому випадку вісь Х₂₄ буде перпендикулярною f₂, а сама площина å – перпендикулярною до П₄.Кут між проекцією площини å₄ та віссю Х₂₄ визначає кут нахилу площини до П₂.

1.1.4. Перетворити площину загального положення на площину рівня (паралельну).

На рис. 9 площина задана трикутником АВС. Для перетворення її на площину рівня треба виконати подвійну заміну.

Спочатку в системі П₁П₄ площина АВС перетворюється на проецюючу А₄В₄С₄. Вісь Х₁₄ (горизонтальна проекція П₄) буде перпендикулярною горизонталі h₁ трикутника АВС. Потім П₁ замінюємо на П₅, паралельну трикутнику. Вісь Х₄₅ (проекція П₅ на П₄) у цьому випадку буде паралельною С₄А₄В₄, а сама площина АВС у системі П₄П₅ перетвориться на площину рівня.

Таким чином, трикутник спроецювався на площину П₅ без спотворення.

Для перетворення площини загального положення, замість розглянутої, на площину рівня, можна використати подвійну заміну площин П₁ на П₄, та П₂ на П₅.

1.2. Спосіб обертання.

Цей спосіб полягає в тому, що об'єкт проецювання за допомогою обертання навколо деякої осі займає відносно нерухомих площин проекцій положення більш зручне для розв'язання задач.

Усі точки об'єкта проецювання при обертанні навколо лінії, що приймається за вісь обертання, переміщуються по дугах кола. Ці дуги лежать у площинах, що перпендикулярні до осі обертання. За допомогою цього способу також є можливість вирішення чотирьох основних задач перетворення.

1.2.1.Обертання навколо осей, перпендикулярних до площин проекцій.

На рис. 10 наведено схему обертання точки А навколо осі обертання "і", перпендикулярної П₁.

Площина Σ( Σ₂) обертання точки А, у цьому випадку, буде паралельною П₁, а тому, коло обертання радіуса R на П₁ проецюється без спотворення.

При обертанні точки А(А₁, А₂) на якийсь кут навколо вісі "і" її новими проекціями будуть А'₁, А'₂.

На рис. 11 зображено перетворення прямої загального положення на пряму рівня. Такого положення можна досягти обертаючи відрізок АВ навколо осі "і", перпендикулярної, наприклад, до П₁. Всі точки прямої обертаються на один і той же кут в площинах перпендикулярних осі, а тому в площинах горизонтальних.

Якщо потрібно пряму АВ загального положення перетворити на пряму рівня, то її горизонтальна проекція А₁В₁ під час обертання повинна зайняти положення (А'₁В'₁) паралельне осі Х. У цьому разі радіус Rбуде перпендикулярним осі Х.

Проекцію А'₁В'₁ визначимо завдяки постійній величині горизонтальної проекції. Відповідну нову фронтальну проекцію А'₂В'₂ визначимо за допомогою ліній проекційного зв'язку.

1.2.2. Обертання навколо ліній рівня.

Крім обертання навколо осей, перпендикулярних площинам проекцій, користуються обертанням навколо ліній рівня площин, якщо треба площину загального положення перетворити на площину рівня.

Це буває потрібно при визначенні натуральних розмірів плоских фігур. У довільній площині завжди можна вибрати одну з безлічі головних ліній, а потім обернути навколо цієї лінії задану площину до такого положення, щоб площина стала паралельною площині проекцій.

На рис. 16 зображено площину Σ (fìüh) загального положення, задану слідами. Для визначення величини плоского кута, що утворюється в просторі між слідами площини, виконано суміщення відсіку площини з площиною П₁ (обертання площини навколо горизонталі "h").

Віссю обертання у даному випадку служить горизонталь-ний слід площини – h₁.

Для знаходження суміще-ного фронтального сліду, на ньому вибирають довільну точку А, яка при обертанні навколо горизонтального сліду h₁, рухатиметься у вертикальній площині, перпендикулярній до h₁. При цьому відстань від точки А до точки збігу слідів площини збережеться, що дозволить з точки збігу слідів провести дугу кола до перетину в точці А'₂ з площиною траєкторії горизонтальної проекції точки. Суміщений фронтальний слід f '₂ пройде через точку збігу слідів і знайдену точку А'₂.

1.3. Спосіб плоскопаралельного переміщення.

Якщо при способі заміни площин проекцій геометричні фігури залишають на місці, а до них, певним чином, підбирають площини проекцій, то при способі плоскопаралельного переміщення роблять навпаки: площини проекцій П₁ і П₂ залишають незмінними, а геометричні образи (фігури) переміщують певним чином.

На рис. 10було наведено обертання точки А навколо осі "і", перпендикулярної П₁. На протязі всього обертання точка А переміщується в площині Σ(Σ₂), паралельній П₁, та перпендикулярній до осі "і". Такі перетворення можна виконати і без зафіксованих осей, перпендикулярних площинам проекцій.

Так, на рис. 17 наведено плоскопаралельне переміщення точки А в площині рівня Σ (Σ₂).

Яке б положення не займала при переміщенні точка А, її фронтальні проекції завжди співпадають з проекцією Σ₂.

Спосіб плоскопаралельного переміщення є обертанням навколо невиявлених осей, перпендикулярних до П₁ і П₂. Відповідно до цього виконується рішення основних задач перетворення. Так, на рис. 18 наведено переміщення прямої АВ в площинах Σ, Г (для точок А, В), паралельних П₁, до положення паралельного П₂. При цьому А₁В₁ = А'₁В'₁. Потім пряма АВ з положення рівня переміщена в площині Т(Т₁) до проецюючого до П₁ положення. Інші типові задачі виконуються аналогічно.

1.4. Приклади розв'язання метричних та позиційних задач за допомогою способів перетворення проекцій.

1.4.1. Визначити відстань точки А від площини загального положення Σ (aìüb).

Рішення задачі наведено на рис. 19.

1.4.2. Визначити відстань точки А до прямої ВС

загального положення (рис 20).

У системі П₂П₁ ця відстань (перпендикуляр з точки А на пряму ВС) визначиться зворотним ходом. При цьому A₄R₄ завжди паралельна Х₄₅, так як перпендикуляр A₅R₅ є горизонтальною прямою.

1.4.3. Визначити відстань між мимобіжними

прямими АВ і CD.

Розв'язання задачі виконано на рис. 21 способом заміни площин проекцій. Заміна площин виконується відносно перетворення на П₅ прямої АВ на проецюючу. Пряма CD під час перетворення замінюється прямою загального положення.

1.4.4. Визначити кут між прямими "a, b", які перетинаються (рис.22), подвійною заміною.

Площину АКВ перетворюємо на площину рівня відносно площини проекцій П₅. А тому, шуканий кут між прямими

1.4.5. Визначити кут між прямою "а" та площиною загального положення Σ.

Кут між прямою і площиною вимірюється кутом α (рис. 23) між прямою і її проекцією на цю площину.

У трикутнику АКВ кут β при вершині А доповнює кут αдо 90◦. Тому простіше знайти доповнюючий кут β між прямою "а" і перпендикуляром "d" з будь-якої точки прямої на площину Σ.

На рис. 24 це кут між прямими "а" і "b" при вершині А.

Перетворюючи проекції цього кута (площини) до положення, паралельного площині П₅, визначимо дійсну величину кута α. Шуканий же кут α буде рівний 90◦ – β.

Σ (DАВС) і T(DBCD).

На рис. 24, а ці дві площини вже мають лінію перетину. Це спільна пряма ВС – ребро двогранного кута. Тому, перетворивши креслення таким чином, щоб ребро ВС стало проецюючим, маємо величину лінійного кута a.

У деяких випадках, коли не визначене ребро двогранного кута, задача вирішується значно прості-ше, якщо визначити спочатку кут, що знахо-диться між перпендику-лярами "а" і "b" (рис. 24, б), опущеними з довільної точки К на задані площини. Кут між перпендикулярами "а" і "b" доповнює шуканий кут a до 180◦.

На рис. 24, в наведено приклад визначення двогранного кута a між площинами Σ (fìüh) і Т (mìün). Доповнюючий кут β визначається у трикутнику КАВ, сторони якого (КА і КВ), перпендикулярні до заданих площин Σ і Т. Спочатку визначаємо величину цього кута, а потім дійсного кута a, доповнюючи кут β до 90◦.

1.4.7. Визначити точки (К, R) перетину прямої АВ з

поверхнею сфери (рис. 25).

Рішення буде графічно точнішим, якщо посередник Σ, проведений через пряму АВ, перетне сферу по кривій "а", одна з проекцій якої – коло. Для цього треба перетворити проекції так, щоб пряма АВ стала прямою рівня.

1.4.8. Визначення проекцій та величини перерізу конуса

площиною Σ (аìüb) (рис. 26).

Замінивши площину П₂ на П₄ так, щоб площина перерізу Σ стала проецюючою (Σ₄), будемо мати на П₄ одну проекцію лінії перерізу. Вона буде співпадати з проекцією площини Σ₄. Зворотним ходом визначаються проекції перерізу на П₁, а потім на П₂. Для знаходження дійсної величини плоскої фігури перерізу, виконується заміна П₁ на П₅, паралельну площині перерізу.

Усі наведені приклади виконані способом заміни площин проекцій. Але вони можуть бути виконані також і іншими способами перетворення проекцій, які були розглянуті раніше.

Л І Т Е Р А Т У Р А

1. В.Є. Михайленко, М.Ф. Євстіфєєв, С.М. Ковальов, О.В. Кащенко, Нарисна геометрія, К., НМКВО, 1991

2. В.Є. Михайленко, М.Ф. Євстіфєєв, С.М. Ковальов, О.В. Кащенко, Нарисна геометрія, К., "Вища школа", 1993

Читайте також:

1. II. ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ.
2. Аналіз комплексних статей витрат: витрат на утримання та експлуатацію устаткуван­ня, цехові, загальногосподарські, поза виробничі витрати.
3. Білорусь. Характеристика положення та господарства країни.
4. Бюджет може складатися із загального та спеціального фондів.
5. Бюджетні кредити, надані за рахунок загального фонду державного бюджету
6. Виберіть 2 положення, які треба добавити у визначення елементів наукової проблеми.
7. Вибір між власним складом і складом загального користування
8. Визначення вмісту загального та білкового азоту за методом Кьєльдаля
9. Визначення загального трудового стажу
10. Визначення положення газорідинних і водо-нафтових контактів
11. Визначення поняття права. Значення загального поняття права. Різні підходи до визначення поняття права.
12. Випарні апарати з горизонтальним і похилим положенням нагрівальних камер

Переглядів: 3382