• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Основні поняття

Протягом всього курсу алгебри декілька разів відбувається збагачення запасу чисел. Зокрема, множина Z цілих чисел була розширена множиною Q раціональних чисел, та, в свою чергу, множиною R дійсних чисел. Необхідність таких розширень грунтується на відсутності в попередніх множинах розв’язків певних типів рівнянь. Так, в першому випадку це були, наприклад, рівняння ax=b, де а,bZ, в другому – рівняння axⁿ=b, де a,bQ, nN. Ще один тип рівнянь, зокрема, х²+1=0, змушує розширити множину дійсних чисел, оскільки в ній коренів цього рівняння не існує.

В ролі елементів нової множини чисел виберемо точки площини. Нехай на площині вибрана прямокутна система координат. Точки площини позначатимемо буквами α,β,γ,… і записуватимемо точку α з абсцисою а і ординатою b через α = (a,b).

Сумою точок α = (a,b) і β = (c,d) назвемо точку α+β з абсцисою а+с і ординатою b+d, тобто

α+β = (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d).

Добуткомцих же точок назвемо точку α·β з абсцисою ас-bd і ординатою ad+dc, тобто

α·β = (a,b)·(c,d) = (ac-bd, ad+bc).

Пряма перевірка підтверджує, що множина точок площини із вибраними таким чином операціями додавання і множення утворює поле. Це числове поле (в якому числа зображаються точками площини) названо полем комплексних чисел. Якщо точці (а,0) осі абсцис поставити у відповідність дійсне число а, то отримається взаємно однозначна відповідність (ізоморфізм) між точками осі абсцис і множиною дійсних чисел, причому операції додавання і множення точок осі абсцис і дійсних чисел аналогічні.

(а,0)+(b,0) = (a+b,0),

(а,0)·(b,0) = (ab,0).

Тому не розрізнятимемо точку (а,0) та дійсне число а і вважатимемо (а,0) = а. Отже, поле комплексних чисел містить підмножину точок осі абсцис, ізоморфну полю дійсних чисел, тобто є його розширенням.

Покажемо, що це розширення містить корені рівняння х²+1=0, тобто елемент, квадрат якого рівний -1. Розглянемо точку (0,1), яка лежить на осі ординат на відстані 1 вгору від початку координат, і знайдемо її квадрат: (0,1)·(0,1) = (-1,0) = -1. Позначають точку (0,1) буквою і. Отже, і² = -1.

Отримаємо для побудованих комплексних чисел звичайний запис:

(a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+b·(0,1) = a+bi.

Ця форма запису комплексного числа називається алгебраїчною.

В записі комплексного числа число а називають його дійсною частиною (позначають Reα), а число bi – його уявною частиною (позначають Imα).

Площина, точки якої ототожнені з комплексними числами, названа комплексною площиною, вісь абсцис –дійсною віссю, вісь ординат – уявною віссю.

Число =a-bi, яке відрізняється від = a+bi тільки знаком при уявній частині, називається числом, спряженим з . Геометрично спряжені числа є точками, розміщеними симетрично відносно дійсної осі.

§2. Дії над комплексними числами

1. (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.

2. (a+bi) – (c+di) = (a – c) + (b – d)i.

3. (a+bi)(c+di) = (ac – bd) + (ad+ bc)i.

4. = = + i.

5. = .

6. = +.

7. = - .

8. = ·.

9. = .Доведення всіх формул здійснюється безпосередньо.

Із малюнка видно, що додавання комплексних чисел геометрично здійснюється за правилом паралелограма (аналогічно віднімання – за правилом трикутника).

Оскільки комплексні числа розміщені не на одній прямій, то їх не можна впорядкувати з допомогою понять “більше” і “менше”, тому поле комплексних чисел невпорядковане.

в) Тригонометрична форма комплексного числа

Положення точки на комплексній площині може бути задане як декартовими координатами а, b (α=a+bi), так і її полярними координатами: відстанню r від початку координат до точки і кутом j між додатнім напрямом осі абсцис і напрямом із початку координат на цю точку.

Число r називають модулемчисла (позначається ), а кут j - аргументомчисла(позначається arg). Зв’язок між декартовими та полярними координатами має вигляд: a = rcosj, b = rsinj.

Звідси r = .

Запис числа α в полярних координатах є таким:

α = a+bi = rcosj+(rsinj)i, тобто

α = r(cosj+isinj).

Ця форма запису комплексного числа називається тригонометричною.

Приклад.

Число α = 1 + і в тригонометричній формі виглядає так:

α = (cos+isin).

Знайдемо добуток двох комплексних чисел α = r (cosj+isinj) та

β = .

Отже: , тобто

модуль добутку комплексних чисел дорівнює добутку модулів співмножників;

, тобто

аргумент добутку комплексних чисел дорівнює сумі аргументів співмножників.

Ці правила поширюються на довільну кількість співмножників.

Аналогічні правила мають місце і для частки . Нехай β ≠ 0.

звідки випливає, що

модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці модулів діленого і дільника,

аргумент частки дорівнює різниці аргументів діленого і дільника.

Із того, що 1=1+і∙0=cos0+isin0, і при α=r(cosj+isinj)≠ 0 отримаємо

α^-1=r^-1[cos(-j)+isin(-j)].

Читайте також:

1. II. Основні закономірності ходу і розгалуження судин великого і малого кіл кровообігу
2. II. Поняття соціального процесу.
3. V. Поняття та ознаки (характеристики) злочинності
4. А/. Поняття про судовий процес.
5. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
6. Адміністративний проступок: поняття, ознаки, види.
7. Адміністративні провадження: поняття, класифікація, стадії
8. Акти застосування юридичних норм: поняття, ознаки, види.
9. Амортизація основних засобів, основні методи амортизації
10. Аналіз ступеня вільності механізму. Наведемо визначення механізму, враховуючи нові поняття.
11. Артеріальний пульс, основні параметри
12. АРХІВНЕ ОПИСУВАННЯ: ПОНЯТТЯ, ВИДИ, ПРИНЦИПИ І МЕТОДИ

Переглядів: 601