МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Піднесення до степеня і добування кореняа) Піднесення до степеня При цілому додатньому nдля числа, поданого в тригонометричній формі, має місце так звана формула Муавра піднесення його до степеня: тобто при піднесенні комплексного числа до степеня модуль підноситься до цього степеня, а аргумент множиться на показник степеня. Доводиться формула Муавра методом математичної індукції. Випадок n=2 випливає із доведеної вище формули добутку двох комплексних чисел. Із припущення правильності формули для n=k, тобто розглянемо випадок n=k+1: що і треба було довести.▲ Формула Муавра правильна і для цілих невід’ємних показників. Дійсно, оскільки , то достатньо застосувати формулу Муавра до числа , тригонометрична форма якого відома: . Приклад.
б) Добування кореня Розглянемо тепер добування кореня n-го степеня із комплексного числа Це означає, що потрібно знайти таке комплексне число , що . Згідно формули Муавра ()n = r, звідки , де в правій частині знаходиться однозначно визначене додатне значення кореня. Оскільки кути та j можуть відрізнятися на ціле кратне , то = j+k, звідки . Таким чином, , де k = 0,1,2,…, n-1 (оскільки при інших значеннях k корені будуть повторюва-тись). Кут можна записати і так: , де k=0,1,2,…, n-1. Отже, добування кореня n-го степеня із комплексного числа α завжди можливе і дає n різних значень. Всі ці значення розміщені на колі радіуса з центром в нулі і ділять коло на n рівних частин.
в) Корені з одиниці
Випадок добування кореня n-го степеня із числа 1 є особливо важливим. Оскільки 1=cos0+isin0, то , k = 0,1,2,…,n-1. На комплексній площині корені n-го степеня з одиниці розміщені на колі одиничного радіуса і ділять його на n рівних дуг, один із коренів рівний 1 (при k=0). Приклад. має два значення: 1 і -1. має три значення: . має чотири значення: 1, і, -1, -і. Всі значення кореня n-го степеня із комплексного числа α можна отримати множенням одного із цих значень на всі корені n-го степеня із одиниці. Дійсно, якщо β – одне із значень , тобто =α, а - довільне значення , тобто , то , тобто теж буде одним із значень для . Множачи β на кожний із коренів n-го степеня з одиниці, отримаємо всі n різних значень коренів n-го степеня з α. Добуток двох коренів n-го степеня із одиниці сам є коренем n-го степеня із одиниці. Дійсно, якщо і , то Число, обернене до кореня n-го степеня з 1, само є коренем n-го степеня з одиниці. Дійсно, якщо , то із випливає , тобто . Із цих двох тверджень випливає, що довільний степінь кореня n-го степеня з одиниці також є коренем n-го степеня з одиниці. Згідно формули Муавра, . Для кожного n існують такі корені n-го степеня з одиниці, які не є коренями із одиниці ніякого меншого степеня. Такі корені називаються первіснимикоренями n-го степеня з одиниці. Якщо є первісним коренем n-го степеня з одиниці, то число тоді і тільки тоді буде первісним коренем n-го степеня, коли (k,n)=1. Це означає, що первісними є тільки ті корені , для яких (k,n)=1. Це, зокрема, і . Доведемо сформульоване твердження. Позначимо (k,n) = d. Нехай d>1. Тоді , , звідки , тобто корінь виявився коренем -го степеня із одиниці. Нехай d=1 і нехай є коренем m-го степеня із одиниці, де 1≤ m < n. Тоді . Оскільки – первісний корінь n-го степеня із одиниці, то n , звідки k з n не є взаємно простими, що суперечить припущенню.▲ Якщо n – просте число, то первісними коренями n-го степеня з одиниці є всі корені, крім самої одиниці.
Читайте також:
|
||||||||
|