• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Піднесення до степеня і добування кореня

а) Піднесення до степеня

При цілому додатньому nдля числа, поданого в тригонометричній

формі, має місце так звана формула Муавра піднесення його до степеня:

тобто при піднесенні комплексного числа до степеня модуль підноситься до цього степеня, а аргумент множиться на показник степеня.

Доводиться формула Муавра методом математичної індукції. Випадок n=2 випливає із доведеної вище формули добутку двох комплексних чисел. Із припущення правильності формули для n=k, тобто

розглянемо випадок n=k+1:

що і треба було довести.▲

Формула Муавра правильна і для цілих невід’ємних показників. Дійсно, оскільки , то достатньо застосувати формулу Муавра до числа , тригонометрична форма якого відома:

.

Приклад.

б) Добування кореня

Розглянемо тепер добування кореня n-го степеня із комплексного числа Це означає, що потрібно знайти таке комплексне число , що .

Згідно формули Муавра ()ⁿ = r, звідки

,

де в правій частині знаходиться однозначно визначене додатне значення кореня. Оскільки кути та j можуть відрізнятися на ціле кратне , то = j+k, звідки

.

Таким чином,

,

де k = 0,1,2,…, n-1 (оскільки при інших значеннях k корені будуть повторюва-тись).

Кут можна записати і так: , де k=0,1,2,…, n-1.

Отже, добування кореня n-го степеня із комплексного числа α завжди можливе і дає n різних значень. Всі ці значення розміщені на колі радіуса з центром в нулі і ділять коло на n рівних частин.

в) Корені з одиниці

Випадок добування кореня n-го степеня із числа 1 є особливо важливим. Оскільки 1=cos0+isin0, то

, k = 0,1,2,…,n-1.

На комплексній площині корені n-го степеня з одиниці розміщені на колі одиничного радіуса і ділять його на n рівних дуг, один із коренів рівний 1 (при k=0).

Приклад.

має два значення: 1 і -1. має три значення: . має чотири значення: 1, і, -1, -і.

Всі значення кореня n-го степеня із комплексного числа α можна отримати множенням одного із цих значень на всі корені n-го степеня із одиниці.

Дійсно, якщо β – одне із значень , тобто =α, а - довільне значення , тобто , то , тобто теж буде одним із значень для . Множачи β на кожний із коренів n-го степеня з одиниці, отримаємо всі n різних значень коренів n-го степеня з α.

Добуток двох коренів n-го степеня із одиниці сам є коренем n-го степеня із одиниці. Дійсно, якщо і , то

Число, обернене до кореня n-го степеня з 1, само є коренем n-го степеня з одиниці. Дійсно, якщо , то із випливає , тобто .

Із цих двох тверджень випливає, що довільний степінь кореня n-го степеня з одиниці також є коренем n-го степеня з одиниці.

Згідно формули Муавра, .

Для кожного n існують такі корені n-го степеня з одиниці, які не є коренями із одиниці ніякого меншого степеня. Такі корені називаються первіснимикоренями n-го степеня з одиниці.

Якщо є первісним коренем n-го степеня з одиниці, то число тоді і тільки тоді буде первісним коренем n-го степеня, коли (k,n)=1. Це означає, що первісними є тільки ті корені , для яких (k,n)=1. Це, зокрема, і .

Доведемо сформульоване твердження. Позначимо (k,n) = d.

Нехай d>1. Тоді , , звідки , тобто корінь виявився коренем -го степеня із одиниці.

Нехай d=1 і нехай є коренем m-го степеня із одиниці, де 1≤ m < n.

Тоді . Оскільки – первісний корінь n-го степеня із одиниці, то n , звідки k з n не є взаємно простими, що суперечить припущенню.▲

Якщо n – просте число, то первісними коренями n-го степеня з одиниці є всі корені, крім самої одиниці.

Читайте також:

1. Вивчення кореня слова
2. Добування ацетилену
3. Добування карбонільних сполук
4. ДОБУВАННЯ КАРБОНОВИХ КИСЛОТ
5. ДОБУВАННЯ КОРИСНИХ КОПАЛИН ВІДКРИТИМ СПОСОБОМ
6. ДОБУВАННЯ КОРИСНИХ КОПАЛИН ВІДКРИТИМ СПОСОБОМ
7. Добування толуолу
8. Добування фенолу
9. Добування чистих металів.
10. Добування.
11. Економічне піднесення США та Німеччини
12. Загальні способи добування металів.

Переглядів: 2129