Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Узгоджений фільтр

Рішення задачі виявлення (детектування) сигналу на тлі білого шуму можна вирішити не лише використанням кореляційного приймача, але і за допомогою так званого узгодженого фільтру.

Узгоджений фільтр (matched filter) - це лінійний пристрій, який максимізує на своєму виході відношення сигнал/шум під час подачі на вхід суми сигналу і шуму.

Розглянемо альтернативну кореляційному приймачу схему демодуляції і детектування цифрового сигналу на рис. 8.

Протягом інтервалу передачі сигналу Т бінарна низькочастотна система передає один з двох можливих сигналів, що позначаються як s₁(t) і s₂(t). Так само бінарна смугова система передає один з двох можливих сигналів, що позначаються як s₁(t) і s₂(t). Оскільки загальне трактування демодуляції і детектування, по суті, збігається для низькочастотних і смугових систем, використовуватимемо запис s_i(t) для позначення передаваного сигналу, незалежно від того, є система низькочастотною або смуговою.

Рис. 8. Два основні етапи в процесі демодуляції/детектування цифрових сигналів

Отже, для будь-якого каналу двійковий сигнал, переданий протягом інтервалу (0, T), представляється таким чином:

Прийнятий сигнал y(t) спотворюється унаслідок дії шуму n(t) і, можливо, неідеальної імпульсної характеристики каналу h_c(t) і описується наступною формулою:

y(t) = s_i(t)*h_c(t) + n(t). (36)

У нашому випадку n(t) є процесом AWGN (additive white Gaussian noise) з нульовим середнім, а знак "*" позначає операцію згортки. Для бінарної передачі по ідеальному, вільному від спотворень каналу, де згортка з функцією h_c(t) не погіршує якість сигналу (оскільки для ідеального випадку h_c(t) — імпульсна функція), вигляд y(t) можна спростити:

y(t) = s_i(t) + n(t), i = 1, 2, 0 £ t £ Т. (37)

Припустимо, що на вхід лінійного, інваріантного в часі приймаючого фільтру, за яким слідує пристрій дискретизації (рис. 8), подається відомий сигнал s(t) плюс шум AWGN n(t). У момент часу t = Т сигнал на виході пристрою дискретизації z(T) складається з компонента сигналу x_i і компонента шуму п₀. Дисперсія шуму на виході (середня потужність шуму) записується як s₀². Відношення миттєвої потужності шуму до середньої потужності шуму (S/N)_T, у момент t = Т на виході пристрою дискретизації етапу 1 дорівнює наступному:

. (38)

Нам потрібно знайти таку функцію передачі узгодженого фільтру H₀(f), яка буде максимізуватина виході фільтрувідношення (S/N)_T. Сигнал x₁(t) на виході фільтру можна виразити через функцію передачі фільтру H(f) (до оптимізації) і спектральну щільність сигналу на вході

, (39)

де S(f) — спектральну щільність сигналу s(t) на вході фільтру.

Якщо двостороння спектральна щільність потужності шуму на вході рівна N₀/2 Вт/Гц, і, враховуючи, що спектральна щільність потужності на виході лінійної, інваріантної в часі системи при подачі на вхід випадкового процесу X визначається як G_Y(f)=G_X(f)|H(f)|², то потужність шуму на виході можна записати таким чином:

. (40)

Підставляючи (39), (40) в (38), отримуємо вираження для (S/N)_T:

(41)

Знайдемо тепер значення H(f) = H₀(f), при якому (S/N)_T досягає максимуму. Для цього нам знадобиться нерівність Шварца, одна з форм запису якого представлена нижче.

. (42)

Рівність досягається при f₁(x) = kf₂^*(x), де k — довільна константа, а знак "*" позначає комплексно зв'язане значення. Якщо ототожнити H(f) з f₁(x) і S(f)e^j²^πfTз f₂(x), можемо записати наступне:

. (43)

Підстановка у вираження (41) дає

(44)

або

, (45)

де енергія Е вхідного сигналу s(t) рівна

. (46)

Отже, максимальний вихід (S/N)_Tзалежить від енергії вхідного сигналу і спектральної щільності потужності шуму, але не від конкретної форми сигналу.

Рівність у вираженні (45) виходить лише при використанні функції передачі оптимального фільтру H₀(f):

H(f) = H₀(f) = kS*(f)e ^j2^π^fT (47)

або

h(t) = Á^-1{kS*(f)e ^j2^π^fT} (48)

де Á^-1– зворотне перетворення Фур'є.

Оскільки s(t) — дійсний сигнал, і враховуючи, що зрушення на якийсь час T в часовій області еквівалентний множенню на e^-^j²^π^fT(зрушенню фази на -2πfT) у частотної області можна записати наступне:

(49)

Отже, імпульсна характеристика фільтру, що забезпечує максимальне відношення сигнал/шум на виході фільтру, є дзеркальним відображенням сигналу повідомлення s(t), що запізнюєтьсяна час передачі символу Т. Відзначимо, що затримка в Т секунд робить рівняння (49) причинним, тобто запізнювання на Т секунд робить h(t) функцією позитивного часу в проміжку 0 £ t £ Т. Без затримки в Т секунд відгук s(-t) не реалізовується, оскільки в цьому випадку він є функцією негативного часу.

У формулі (49) і на рис. 9, а показана основна властивість узгодженого фільтру: імпульсна характеристика такого фільтру - це дзеркальне відображення (відносно осі t=0) сигналу з деякою затримкою. Отже, якщо сигнал рівний s(t), його дзеркальне відображення рівне s(-t), а дзеркальне відображення, що запізнюється на Т секунд, - це s(T-t). Вихід z(t) причинного фільтру в часовій області можна описати як згортку прийнятого вхідного сигналу y(t) з імпульсною характеристикою фільтру:

. (50)

Рис. 9. Корелятор і узгоджений фільтр: а) характеристика узгодженого фільтру; б) порівняння виходів корелятора і узгодженого фільтру

Підставляючи h(t) з формули (49) в h(t-t) у формулі (50) і вибираючи довільну константу k рівної одиниці, отримуємо наступне:

(51)

Для моменту часу t = Т формулу (51) можна переписати таким чином:

(52)

З останнього вираження видно, що інтеграл від здобутку прийнятого сигналу y(t) на копію переданого сигналу s(t) на інтервалі передачі символу є кореляцією y(t) з s(t). Припустимо, що прийнятий сигнал y(t) корелює зі всіма сигналами-прототипами s_i(t) (i= 1,.... М) і для цього використовується набір з М кореляторів. Сигнал s_i(t), кореляція якого (або інтеграл від здобутку) з y(t) дає максимальне значення z_i(t), — і є сигнал, який узгоджується з y(t) краще за останніх.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Фізика роботи оптимального кореляційного приймача	\|	Контрольні питання

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.