• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Загальний метод введення параметра.

Розглянемо Д.Р. (5.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію

(5.18)

Так, що при всіх значеннях параметрів і .

Використовуючи (5.18) і співвідношення ми з Д.Р. (5.1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв'язане Відносно похідної.

Тому

Візьмемо, наприклад, за незалежну змінну, – за залежну, тоді прийдемо до Д.Р.

(5.19)

Якщо

(5.20)

– загальний розв'язок Д.Р. (5.19), то загальний розв'язок Д.Р. (5.1) можна отримати в параметричній формі.

(5.21)

Розглянемо деякі частинні випадки:

А. Д.Р., розв'язані віднлсносно шуканої функції.

Це рівняння має вигляд

(5.22)

За параметри і можна взяти і . Позначимо , тоді

(5.23)

Маємо

Звідки

(5.24)

Нехай – загальний розв'язок Д.Р. (5.24), тоді – загальний розв'язок Д.Р. (5.22).

Д.Р. (5.24) може мати особливий розв'язок , тоді Д.Р. (5.22) може мати особливий розв'язок .

Б. Випадок, коли Д.Р. розв'язане відносно незалежної змінної.

Це рівняння має вигляд

(5.25)

Інтегрується воно аналогічно Д.Р. (5.22). Покладемо . Тоді

Використовуючи співвідношення , отримаємо

(5.26)

Якщо – загальний інтеграл Д.Р. (5.26), то

(5.27)

загальний інтеграл Д.Р. (5.25).

Якщо – особливий рощзв'язок Д.Р.(5.26), то -може бути особливим розв'язком Д.Р. (5.25).

Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати.

В. Рівняння Лагранжа.

Це рівняння має вигляд

(5.28)

Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо . Тоді

(5.29)

З (5.29) маємо

(5.30)

Д.Р. (5.30) лінійне по

(5.31)

Нехай – розв'язок Д.Р. (5.31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі

(5.32)

Особливі розв'язки можуть бути там, де

(5.33)

тобто

(5.34),

де – корені рівняння (5.33).Розв'язок (5.34) може бути частинним або особливим.

Г. Рівняння Клеро.

Це рівняння – частинний випадок рівняння Лагранжа, коли .

(5.35)

Покладемо , тоді

(5.36)

Використовуючи , отримаємо

(5.37)

Рівняння (5.37) розпадається на два

(5.38)

Перше рівняння дає , підставляючи яке в (5.35) будемо мати загальний розав’язок

(5.39)

Друге - , разом з (5.35) утворює параметричні розв’язкі

(5.40)

Розв’язок (5.40) являється особливим, так як він співпадає з _______. Дійсно

звідки

(5.41)

Дискримінантна крива (3.41) співпадає з розв’язком (3.40).

Приклад 5.3.

Розв’язати рівняння Лагранжа.

Покладемо . Маємо ,

,

Отримали лінійне рівняння

Його розв’язок

(5.42)

(5.43)

загальний розв’язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи :

(5.44)

Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають

Перший розв’язок – офівфісобливий, другий – частинний.

Приклад 5.4.

Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок –

Запишемо дискримінантну криву

Звідки - особливий розв’язок, так як через цей розв’язок проходить ще розв’язок, який міститься в загальному при .

5.4. Неповні рівняння.

а). Д.Р. які містять тільки похідну.

Це рівняння вигляду

(5.45)

Рівняння (5.45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв’язків.

(5.46)

де – деякі числа, задовільняючі функцію .

Інтегруємо (5.46)

(5.47)

Так як то

(5.48)

загальний інтеграл Д.Р. (5.45). Таким чином при таких припущеннях Д.Р. (5.45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (5.48). При цьому в (5.48) можуть входити комплексні розв’язки Д.Р.

Приклад 5.5.

Розв’язати .

Згідно (5.48) – загальний інтеграл. Однак у нього крім дійсного розв’язку , входять розв’язки комплексного Д.Р.

б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд

(5.49)

Якщо (5.49) можна розв’язати відносно похідної

(5.50)

то

(5.51)

являється загальним інтегралом Д.Р. (5.49).

Якщо ж розв’язати відносно не можна, а допускається параметризація

(5.52)

тобто

(5.53)

Тоді загальний розв’язок знаходять в параметричній формі

(5.54)

Якщо Д.Р. (5.49) має вигляд

(5.55)

тоді це рівняння легко параметризується .В частинному випадку . Загальний розв’язок запишеться в формі

(5.56)

Приклад 5.6.

Зайти загальний розв’язок рівняння .

Вводимо параметризацію .

, ,

Маємо

Загальний розв’язок в параметричній формі.

в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної.

Це рівняння вигляду

(5.57)

Якщо рівняння (5.57) розв’язане відносно , тобто

(5.58)

то

(5.59)

Являється загальним інтегралом Д.Р. (5.57). Особливими розв’язками можуть бути криві , де – корені рівняння (або ).

Якщо Д.Р. (5.57) не можна розв’язати відносно , але воно допускає параметризацію

(5.60)

то

(5.61)

Загальний розв’язок Д.Р. (5.57) в параметричній формі.

Приклад 5.7.

Розв’язати . Введемо параметризацію .

звідки

зашальний розв’язок нашого рівняння.

г) Узагальнено однорідні рівняння.

Д.Р. назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина являється однорідною функцією аргументів , яким відповідають величини -го, -го і виміру, тобто

(5.62)

Зробимо заміну

(5.63)

де – нова незалежна змінна,– нова шукана функція. Маємо

тобто . З іншої сторони

(5.64)

Підставимо (5.63),(5.64) в Д.Р. (5.1)

отримане рівняння

(5.65)

не містить незалежної змінної .

Читайте також:

1. D) методу мозкового штурму.
2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
3. I Метод Шеннона-Фано
4. I. Введення в розробку програмного забезпечення
5. I. Метод рiвних вiдрiзкiв.
6. VII. Нахождение общего решения методом характеристик
7. А. науковий факт, b. гіпотеза, с. метод
8. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
9. Агрегативна стійкість, коагуляція суспензій. Методи отримання.
10. АгротехнІЧНИЙ метод
11. Адаптація персоналу: цілі та завдання. Введення у посаду
12. Адаптовані й специфічні методи дослідження у журналістикознавстві

Переглядів: 1002