• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Порівняння функцій

Теорема про існування зворотної функції

Теорема 1. Нехай функція визначена, неперервна і строго монотонна на . Тоді на сегменті (якщо монотонно зростає) чи на (якщо монотонно спадає) існує зворотна функція , яка є строго монотонною і неперервною на цьому сегменті, має такий самий характер монотонності, що і .

Доказ. Для визначеності будемо вважати, що строго монотонно зростає. Покажемо, що для знайдеться і тільки один , що .

Оскільки - неперервна і монотонна на , область її значень - . З цього витікає існування . Покажемо, що таке - єдине. Припустимо, що це не так, тобто, що існують , що . Нехай для визначеності , тоді завдяки строгому монотонному зростанню маємо:

.

Отримали суперечність. Таким чином, на визначена зворотна функція .

Покажемо, що поводе себе так, як , тобто строго монотонно зростає. Припустимо, що це не так, тобто що , такі, що , а . Але для завдяки монотонному зростанню витікає, що . Отримали суперечність, тому наше припущення є хибним і строго монотонно зростає на .

Покажемо, що - неперервна на . Оскільки - монотонна, а область її значень є сегмент - сегмент , то вона буде і неперервною (за теоремою 3 лекції 5).

Теорема 2. Нехай функція визначена і неперервна на проміжку . Для того, щоб ця функція мала зворотну, необхідно і достатньо, щоб вона була строго монотонна на проміжку . (без доказу).

Приклад. Оскільки функція не є строго монотонною на , то на всій своїй області визначення ця функція не має зворотну. Для визначення зворотної обирається такий сегмент з області визначення , на якому є строго монотонним - (рис.2.). Зворотна функція , а після перейменування змінних - має областю визначення сегмент , а областю значень - , є строго монотонно зростаючою.

Визначення 1. Функція називається нескінченно малою, коли , якщо

.

Теорема 3. Сума, різниця, добуток нескінченно малих функцій, коли , є нескінченно малими, коли .

Завдання. Довести теорему 3.

Зауваження. Відношення нескінченно малих функцій при є невизначеністю.

Дійсно, нехай в нас є дві нескінченно малі функції при : . При цьому є нескінченно великою при , бо ; є нескінченно малою при , бо ; а і взагалі може мати яке завгодно значення .

Рис.2.

Визначення 2. Нехай - нескінченно малі при . Кажуть, що - нескінченно мала більш високо порядку, ніж , і позначають:

, коли (читають: є о-мале від при ),

якщо

.

Відповідно до визначення 2, оскільки , то , коли (але , коли ).

Визначення 3. Нехай - нескінченно малі при . Кажуть, що є нескінченно малими одного порядку (чи порівнянними), і позначають

, коли (читають: є о-велике від при ),

якщо

.

Відповідно до попереднього визначення , коли , оскільки .

Читайте також:

1. V Процес інтеріоризації забезпечують механізми ідентифікації, відчуження та порівняння.
2. Аденогіпофіз, його гормони, механізм впливу, прояви гіпер- та гіпофункцій.
3. Асимптотичний підхід до порівняння оцінок
4. Аутентифікація з використанням односторонніх функцій
5. Бюджетний контроль - це порівняння показників бюджету зі звітом за від­повідний період часу.
6. Важкість праці: Динамічні, статичні навантаження. Напруженість праці. Увага, напруженість аналізаторних функцій, емоційна та інтелектуальна напруженість, монотонність праці.
7. Види договорів і контрактів. Розподіл функцій учасників проекту
8. Види функцій державного управління
9. Виконання лінійної регресії за допомогою функцій Excel
10. Вона є важливим органом, який виконує ряд функцій
11. Вона є важливим органом, який виконує ряд функцій
12. Гіпофункцій.

Переглядів: 1638