• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Частотні характеристики

Нехай передатна функція системи по одній з вхідних дій записана у вигляді відношення двох поліномів (див. (2.38))

. (2.67)

Для визначення частотних характеристик САК у виразі для передатної функції необхідно зробити заміну змінної , де . Зауважимо, що

(2.68)

З урахуванням прийнятих позначень формула (2.67) набуде вигляду

. (2.69)

Як бачимо, складові з непарними степенями містять уявну одиницю , а в парних степенях вона відсутня. Виділимо в чисельнику і знаменнику дійсну і уявну частини та введемо їх позначення

(2.70)

Тоді вираз (2.69) з урахуванням позначень (2.70), можна записати у вигляді відношення двох комплексних величин, а саме

(2.71)

Щоб позбутися комплексності знаменника в (2.71) помножимо чисельник і знаменник на комплексно спряжену величину по відношенню до знаменника, тобто на

(2.72)

або

. (2.73)

Виділимо в (2.73) дійсну і уявну частини та введемо їх позначення

(2.74)

тоді вираз (2.73) можна записати у вигляді

. (2.75)

Вираз (2.75) називають амплітудно-фазовою характеристикою (АФХ) системи. Її складові називають, відповідно, дійсною та уявною частотними характеристиками (ДЧХ, УЧХ). Кожне комплексне число, зокрема і АФХ, можна подати у показниковій формі, а саме

, (2.76)

де

, . (2.77)

Тут називають амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ) системи, а – фазо-частотною характеристикою системи

Алгоритм побудови частотних характеристик САК.

1. Задаємо початкове і кінцеве значення частоти, а також крок її зміни . Одним з критеріїв вибори кроку може бути зміна значень , яка не повинна перевищувати одного відсотка. Математично це можна записати у вигляді нерівності

, (2.78)

де Це означає, що крок може змінюватися в залежності від виконання умов (2.78).

2. Маючи біжуче значення частоти згідно (2.70) обчислюємо .

3. Згідно (2.74) обчислюємо .

4. Згідно (2.77) обчислюємо АЧХ і ФЧХ системи – .

5. Результати обчислень записуємо у текстовий файл в такій послідовності , , .

6. Згідно умов (2.78) визначаємо нове значення кроку . Якщо ці умови не виконуються ділимо крок на два аж до їх виконання.

7. Змінюємо частоту .

8. Перевіряємо умову . Якщо ця умова виконується, тоді процес повторюємо починаючи з п. 2 даного алгоритму, в іншому випадку завершуємо обчислення.

9. Маючи таблицю значень , , у вигляді текстового файлу, будуємо частотні характеристики АФХ, АЧХ, ФЧХ.

Приклад. Нехай задано RC-фільтр (рис. 2.16), який описується диференціальним рівнянням першого порядку

. (2.79)

Зображення за Лапласом рівняння (2.79) має вигляд

. (2.80)

Згідно означення та виразу (2.80) передатна функція RC-фільтру буде мати вигляд

. (2.81)

Для запису частотних характеристик підставимо в (2.81)

. (2.82)

Ми отримали частковий випадок виразу (2.71), де

. (2.83)

Підставимо (2.83) в (2.74) і отримаємо вирази для ДЧХ та УЧХ

. (2.84)

Решта частотних характеристик, а саме АФХ, АЧХ та ФЧХ визначаються відповідно формулами (2.75), (2.77). Якщо проаналізувати залежності (2.84), то приходимо до висновку, що при довільних значеннях частоти справедливі нерівності

. (2.85)

Справедливими будуть також умови

, (2.86)

Частотні характеристики можна будувати використовуючи власну частоту RC-ланки , тоді зміну частоти можна визначати за формулою

, (2.87)

Не важко помітити, що АФХ (рис. 2.17) має форму півкола яке лежить в четвертому квадранті комплексної площини. Центр цього кола знаходиться на дійсні вісі в точці 0.5, а його радіус рівний також 0.5. На рис. 2.17 позначені кілька характерних точок для різних значень . Так, точка А відповідає значенню =0, точка В – =1/3, точка С – =1/2, точка D – =1, точка E – =2, точка F – =3, точка O – →∞. На рис. 2.18 наведена АЧХ системи, яка починається з одиниці і з ростом частоти асимптотично наближається до нуля. Так, при , що в 20 разів менше максимального значення, тобто одиниці. ФЧХ зображена на рис. 2.19. Вона на відміну від АЧХ починається з початку координат і асимптотично прямує до –π/2.

На рис. 2.17 позначений вектор ОС. Його початок знаходиться в початку координат (точка О), а кінець зі зміною частоти від 0 до ∞ ковзає по лінії АФХ від точки А до точки О. Довжина цього вектора є не що інше як АЧХ (), а кут утворений між вектором ОС та віссю є ФЧХ ().

Контрольні запитання.

1. Запишіть інтеграл Лапласа.

2. Коли інтеграл Лапласа є збіжним?

3. Як визначається зображення за Лапласом часової похідної?

4. Що таке зворотне перетворення за Лапласом?

5. Дайте означення передатної функції системи.

6. Як визначити передатну функцію послідовного сполучення ланок?

7. Як визначити передатну функцію паралельного сполучення ланок?

8. Як визначити передатну функцію зустрічно-паралельного сполучення ланок?

9. Запишіть перехід від передатної функції до АФХ системи.

10. Як позбутися комплексності знаменника у виразі для АФХ системи?

11. За якою формулою визначається АЧХ системи?

12. За якою формулою визначається ФЧХ системи?

Читайте також:

1. V. Поняття та ознаки (характеристики) злочинності
2. Акустичні характеристики порід
3. Будова, принцип роботи та характеристики МДН – транзисторів
4. Будова, принцип роботи та характеристики тиристорів
5. Будова, характеристики і параметри біполярного транзистора
6. Варіаційні ряди та їх характеристики
7. Векторні характеристикимеханічного руху– переміщення, шлях, швидкіст та прискорення
8. Вивчення загальної характеристики господарства, окремих галузей господарства та міжгалузевих комплексів.
9. Види мереж. Основні характеристики мереж.
10. Види та характеристики зношування
11. Види та характеристики інструментів власності.
12. Види та характеристики колективів (груп) працівників

Переглядів: 1526