• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Передатні функції

Якщо САК має дві вхідні дії, то в загальному випадку вона може бути описана деяким лінеаризованим диференціальним рівнянням

(2.32)

де – приріст вихідної величини; – прирости вхідних величин. Використовуючи перетворення за Лапласом для розв’язування диференціальних рівнянь отримаємо рівняння аналогічне (2.30)

(2.33)

звідки можна визначити зображення вихідної величини

(2.34)

де – поліном початкових умов вхідних і вихідної величин та їх похідних;

(2.35)

З (2.34) слідує, що при існує однозначна залежність зображення вихідної величини системи від зображень вхідних величин, яка записується через поліноми Коефіцієнти цих поліномів збігаються з відповідними коефіцієнтами диференціального рівняння (2.32), що визначаються параметрами системи.

Означення. Передатною функцією називається відношення зображення за Лапласом вихідної величини до зображення за Лапласом вхідної величини при нульових початкових умовах.

За наявності декількох вхідних величин передатна функція визначається окремо для кожної з вхідних величин при умові що інші вхідні величини рівні нулю.

У нашому випадку при , отримуємо можливість виразити зображення вихідної величини через передатні функції системи і зображення вхідних величин

, (2.36)

де

(2.37)

тобто

(2.38)

Розглянемо визначення передатних функцій для основних сполучень ланок. Якщо система складається з одного елементу тоді вираз (2.36) набуде вигляду

. (2.39)

В структурному вигляді це можна зобразити як певний елемент (рис. 2.1). Отже, згідно (2.39) зображення за Лапласом вихідної величини елементу САК дорівнює добутку її передатної функції на зображення за Лапласом вхідної величини.

Для послідовного сполучення ланок (рис. 2.2) згідно (2.39) маємо

Виключивши змінну отримаємо

(2.40)

Порівнюючи вирази (2.39), (2.40) можна зробити висновок, що передатна функція послідовного сполучення ланок дорівнює добутку передатних функцій ланок, що входять в дане сполучення

. (2.41)

Для паралельного сполучення ланок (рис. 2.3), справедливими будуть наступні рівняння

Виключивши змінні , отримаємо

(2.42)

Порівнюючи вирази (2.39), (2.42) можна зробити висновок, що передатна функція паралельного сполучення ланок дорівнює сумі передатних функцій ланок, що входять в дане сполучення

(2.43)

В загальному випадку для n-ланок вирази (2.41) і (2.43) відповідно будуть

(2.44)

Для зустрічно-паралельного сполучення ланок з від’ємним зворотним зв’язком (рис.2.4), маємо

. (2.45)

Виключивши проміжні змінні, отримаємо

, (2.46)

звідки

. (2.47)

Порівнюючи рівняння (2.39), (2.47) отримаємо вираз для обчислення передатної функції зустрічно-паралельного сполучення ланок з від’ємним зворотним зв’язком

. (2.48)

тут – передатна функція основної ланки; – передатна функція ланки зворотного зв’язку. У випадку додатного зворотного зв’язку (рис. 2.5), вираз (2.48) набуде вигляду

. (2.49)

Зворотний зв’язок може бути одинич­ним, тобто, коли вихідний сигнал безпосеред­ньо без проміжних перетворень подається на елемент порівняння (рис. 2.6, 2.7), тоді у виразах (2.48), (2.49) відповідно, слід прийняти

. (2.50)

Спочатку необхідно позначити всі вхідні і вихідні сигнали кожного елементу досліджуваної системи. Далі необхідно скласти систему рівнянь, що описує дану структуру і виключити з неї всі проміжні сигнали крім вихідної () і вхідних () дій. Очевидно, що кількість рівнянь такої системи буде визначатися кількістю елементів досліджуваної структури. Для простоти запису аргумент будемо опускати. Згідно структури рис. 2.8 маємо

(2.51)

Виключимо з цієї системи рівнянь змінні

(2.52)

З системи (2.52) виключимо

(2.53)

Для цього, щоб визначити передатну функцію системи за вхідною дією необхідно прийняти в рівнянні (2.53) другу вхідну дію , тоді з отриманої рівності маємо

. (2.54)

Аналогічно прийнявши знайдемо передатну функцію за вхідною дією

. (2.55)

Таким чином рівняння (2.53) можна записати у формі, аналогічній рівнянню (2.39)

. (2.56)

Передатні функції систем можна визначати і по-іншому. Зокрема, якщо виділити в системі локальні сполучення елементів передатні функції яких наперед відомі, то структуру системи можна суттєво спростити. Розглянемо спрощення структурної схеми системи для визначення її передатної функції. Нехай задана структура системи (рис. 2.9).

Прийнявши визначимо передаточну функцію системи за вхідною дією . Елементи , і , сполучені зустрічно-паралельно з додатним та від’ємним зворотними зв’язками. Позначимо ці

, (2.57)

, (2.58)

Послідовне сполучення елементів з передатними функціями , , позначимо як (рис. 2.11), тоді

. (2.59)

Зустрічно-паралельне сполучення (рис. 2.11) дає нам вираз для передатної функції за вхідною дією

. (2.60)

Підставивши (2.57), (2.58), (2.59) в (2.60) отримаємо кінцевий результат

(2.61)

Прийнявши визначимо передаточну функцію системи за вхідною дією (рис. 2.12). На схемі рис. 2.13 функції , визначаються згідно (2.57), (2.58). Послідовне сполучення , , позначимо , (рис. 2.14), тоді

. (2.62)

Зустрічно-паралельне сполучення , (рис. 2.14) позначимо (рис. 2.15), тоді згідно (2.48), маємо

. (2.63)

Елементи , сполу­чені послідовно, тому

. (2.64)

Підставимо (2.63) в (2.64), тоді

. (2.65)

Підставивши (2.57), (2.58) в (2.62), а отриманий результат в (2.65), маємо остаточний результат

. (2.66)

Порівнюючи вирази (2.54), (2.55) та (2.61), (2.66) приходимо до висновку, що якою б не була структура САК і скільки б не мала вона вхідних дій, передатні функції по всіх вхідних діях завжди мають однаковий знаменник.

Читайте також:

1. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
2. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
3. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
4. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
5. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
6. Асимптоти графіка функції
7. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
8. Базові функції, логічні функції
9. Банки як провідні суб’єкти фінансового посередництва. Функції банків.
10. Банківська система та її основні функції
11. Банківська система та її структура. Функції Центрального банку.
12. Банківська система: сутність, принципи побудови та функції. особливості побудови банківської системи в Україн

Переглядів: 1592