• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Множення імовірностей

Залежні та незалежні події, умовні імовірності

Означення 1. Випадкові події А та В називають залежними, якщо імовірність появи однієї з них залежить від появи або не появи другої події.

Якщо імовірність появи однієї події не залежить від появи або не появи другої, то такі події називають незалежними.

Означення 2. Імовірність події В, обчислена при у мові появи події А, називають умовною імовірністю події В і позначають Р(В|А) або Р_A(В).

Приклад 4.В урні 10 куль: 3 білих і 7 чорних. Навмання беруть дві кулі. Нехай подія А - взята біла куля; подія В - взята чорна куля.

Якщо кулю, яку взяли першою, повертають до урни, то імовірність появи другої кулі не залежить від того, яка взята перша куля.

Якщо перша куля не повертається до урни, то імовірність другої події залежить від результату першого випробування.

Якщо першою взяли білу кулю, то в урні залишилося 2 білих кулі та 7 чорних, тому

Р_A(В) = 7/9.

Якщо першою взяли чорну кулю, то в урні залишилося 3 білих кулі та 6 чорних куль, тому

Р_A(В) = 6/9 = 1/3.

Отже імовірність події В залежить від появи або не появи події А.

Зауваження 1. Якщо події А та В незалежні, то умовна імовірність дорівнює безумовній імовірності, тобто

Р_А(В) = Р(В).

Теорема 4. Імовірність сумісної появи двох випадкових подій А та В дорівнює добутку імовірностей однієї з цих подій та умовної імовірності другої події при умові, що перша подія з'явилась

Р(А · В) = Р(А) · Р_А(В) = Р(В) · Р_B(А). (3.4)

Доведення. Усі елементарні наслідки зобразимо у вигляді точок (Рис. 3.1)

Рис. 3.1.

Нехай появі події А сприяють т₁ наслідків, а появі події В — т₂ наслідків. Усіх можливих наслідків n, а події А В будуть сприяти т наслідків.

Так як

Р(А · В) = т/п , Р(АВ) = т₁/п , Р_А(В) = т/т_1,

Р(А · В) = т₁/п т/т₁ = Р(А). Р_А(В) ,

що треба було довести.

Співвідношення (3.4) називають формулою множення імовірностей залежних випадкових подій.

Наслідок.У випадку незалежних випадкових подій А та В формула (3.4) приймає вигляд

Р(А В) = Р(А) • Р(В)

і називається формулою множення імовірностей незалежних подій.

У випадку скінченої кількості незалежних випадкових подій формула (3.4) приймає вигляд

Р(А₁ • А₂ • ... •А_n) = Р(A₁) • Р(А₂) •... • Р(А_n).

Приклад 5. У деякому людському суспільстві 70% палять, 40% хворіють на рак легенів та 25% палять та мають рак легенів. Знайти імовірність того, що навдачу взята особа з цього суспільства:

а) не палить, але має рак легенів ;

б) палить, але не має рак легенів;

в) ніколи не палить і не має раку легенів;

г) палить і має рак легенів;

д) або палить або має рак легенів.

Розв’язання.Позначимо події: А - особа палить; В - особа хворіє на рак легенів. Тоді за умовою задачі маємо

Р(А)=0.7, Р(В) = 0.4, Р(А-В) = 0.25 => Р()=0.3, Р()=0.6;

а) Р(•В) =- 0.3 • 0.4 = 0.12;

б) Р(А•) = 0.7 • 0.6 = 0.42;

в) Р(•) = 0.3 • 0.6 = 0.18;

г) P(AUB) = Р(A) + Р(В) - Р(U) = 0.7+0.4-0.18 =0.92;

д) P(A•U A•B) = Р(А•) + Р(-•В) = 0.42 + 0.12 = 0.54.

Приклад 6.Навести ілюстративну діаграму властивості

Р(А∩В) +Р(А∩) = Р(А).

Відповідь. Дивись Рис. 3.2.

Рис. 3.2.

Читайте також:

1. Аксіоми додавання і множення
2. Безстатеве розмноження та його біологічне значення
3. Безстатеве розмноження, його визначення та загальна характеристика. Спори — клітини безстатевого розмноження, способи утворення і типи спор.
4. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
5. Додавання імовірностей несумісних подій
6. Додавання, віднімання, множення і ділення цілих чисел. Теореми про існування та єдиність цих операцій. Закони операцій додавання і множення.
7. Економіко-правові проблеми примноження національного багатства.
8. Загальна характеристика дроб’янок, їх класифікація. Ціанобактерії. Будова та форми клітин справжніх бактерій. Способи живлення і розмноження бактерій
9. Закон розподілу імовірностей дискретної двохвимірної випадкової величини
10. Множення і ділення невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність добутку та частки. Властивості (закони) множення.
11. Множення матриць на число.

Переглядів: 840