Закон розподілу імовірностей дискретної двохвимірної випадкової величини

Означення 2. Законом розподілу дискретної двохвимірної випадкової величини називають перелік можливих значень цієї величини (х_і, у_k) та їх імовірностей р(х_і, у_k), i=1 ,2,... ,п; k =1,2,..., т.

Найбільш часто закон розподілу двохвимірної дискретної випадкової величини задають у вигляді таблиці з двома входами

У першому рядку таблиці записують усі можливі значення компоненти X. У першому стовпчику таблиці запитують усі можливі значення компоненти У. На перетині k-го рядка та i-го стовпчика записують імовірність р(х_і, у_k) того, що двохвимірна випадкова величина (X,Y) прийме значення (х_і, у_k), i = 1 ,2,... ,n; k = =1,2,..., m.

Y	X
x₁	х₂		x_і		х_п
y₁	p(x₁, y₁)	p(x₂,, y₁)	...	p(x_i,, y₁)		p(x_n,, y₁)
y₂	p(x₁, y₂)	p(x₂,, y₂)	...	p(x_i,, y₂)		p(x_n,, y₂)
			...
y_к	p(x₁, y_k)	p(x₂,, y_k)		p(x_i,, y_k)		p(x_n,, y_k)

y_m	p(x₁, y_m)	p(x₂,, y_m)		p(x_i,, y_m)	...	p(x_n,, y_m)

Події (X = x_i,, У = у_k), і = l,2,...,n; k = 1,2, ...,m утворюють повну групу, тому сума імовірностей таблиці дорівнює одиниці, тобто

Закон розподілу двохвимірної випадкової величини дозволяє отримати закони розподілу кожної компоненти.

Дійсно, події (x_i,, y₁), (x_i,, y₂),…, (x_i,, y_m) несумісні, тому імовірність Р(x_i) того, що X прийме значення x_i, за теоремою додавання імовірностей буде

Р(x_i) = P(x_i,, y₁) + P(x_i,, y₂) +…+ P(x_i,, y_m),

тобто дорівнює сумі імовірностей, що розташовані в i-му стовпчику таблиці розподілу.

Аналогічно, додаванням імовірностей k-то рядка таблиці, одержимо імовірність

Р(y_k) = P(x₁,, y_k) + P(x₂,, y_k) +…+ P(x_n,, y_k),

Приклад 1. Знайти закони розподілу компонент двохвимірної випадкової величини, закон розподілу якої заданий таблицею

Y	X
x₁	х₂	х₃
y₁	0.1	0.3	0.2
y₂	0.06	0.18	0.16

Розв’язання. Закони розподілу X та Y будуть мати вигляд

X	x₁	х₂	х₃
р	0.16	0.48	0.36

Y	y₁	y₂
Р	0.6	0.4

Імовірності відповідних значень X та Y знаходимо так

p(x₁) = 0.1 +0.06 = 0.16;

p(х₂) = 0.3 + 0.18 = 0.48;

p(х₃) = 0.2 +0.16 = 0.36;

p(y₁) = 0.1 + 0.3 + 0.2 = 0.6;

p(y₂) = 0.06 + 0.18 + 0.16 = 0.4.

Контроль: 0.16 + 0.48 + 0.36 = 1; 0.6 + 0.4 = 1.

Означення 3. Інтегральною функцією розподілу (функцією розподілу) двохвимірної випадкової величини (X, У) називають функцію двох змінних F(x,y), яка визначає для кожної пари чисел (Х,У) імовірність виконання нерівностей X < x;Y < у, тобто

F(x, y) = P(X<x; Y<y).

Аналогічно визначають функцію розподілу системи п випадкових величин

F( x₁, x₂,…, x_n) =P(X₁ <x₁, X₂ <x₂, … , X_n <x_n).

Властивості імовірності Р та означення 3 функції розподілу дозволяють довести такі властивості функції розподілу, які у випадку двохвимірної випадкової величини виглядають

1) 0 ≤ F(x, y) ≤ 1;

2) F(x, y) не спадна функція за кожним аргументом, тобто

F(x₂, y) ≥ F(x₁, y) , якщо x₂> x₁;

F(x , y₂) ≥ F(x ,y₁) , якщо y₂> y₁ .

3) Мають місце граничні співвідношення

F(-∞, y) = 0; F(x, -∞) = 0; F(-∞, ∞) = 0; F(∞, ∞) = 1.

4) Імовірність влучення випадкової точки до прямокутника

{ x₁≤ X ≤ х₂; y₁≤ Y_i ≤ y₂} можна знайти за формулою

P(x₁≤ X ≤ х₂; y₁≤ Y_i ≤ y₂)={F(x₂; y₂) - F(x₁; y₂)} – {F(x₂; y₁) - F(x₁; y₁)}. (8.1)

Геометричний зміст функції розподілу F(x, у) - це імовірність того, що випадкова точка М(Х, Y) попаде у нескінчений прямокутник з вершиною в точці (X, Y) і розміщений нижче та лівіше цієї вершини.

Приклад 2. Знайти імовірність влучення випадкової точки (X, Y) у прямокутник, обмежений лініями

якщо задана функція розподілу вигляду

Розв’язання. У заданому випадку

Згідно з формулою (8.1) одержуємо

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Загальні поняття	\|	Неперервна двохвимірна випадкова величина

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.