Математичне сподівання та його основні властивості.

Числові характеристики дискретної випадкової величини

Закони розподілу ДВВ повністю характеризують випадкові величини і дозволяють розв'язувати усі пов'язані з ними задачі.

Але в практичній діяльності не завжди вдається одержати закон розподілу, або закон надто складний для практичних розрахунків. Тому з'явилася потреба характеризувати ДВВ за допомогою числових характеристик, які характеризують особливості випадкових величин достатньо.

Найбільш часто використовують три числових характеристики: математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення від математичного сподівання.

Ознайомимось із цими числовими характеристиками та їх властивостями.

Означення 1. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини X називають число, яке дорівнює сумі добутків усіх можливих значень X на відповідні їм імовірності.

Математичне сподівання ДВВX позначають М(X) або m_X, тобто

. (6.1)

Якщо X приймає нескінчену кількість значень, то

Математичне сподівання ДВВX характеризує середнє значення випадкової величини X із врахуванням імовірностей його можливих значень. У практичній діяльності під математичним сподіванням розуміють центр розподілу випадкової величини.

Основні властивості математичного сподівання

1) Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійній

M(С) = C.

2) Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання

M(СX) = C·M(X).

Властивості 1 і 2 випливають безпосередньо з означення 1.

3) Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних дискретних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань, тобто

M(X₁·X₂·…·X_n) = M(X₁)·M(X₂) …·M(X_n).

Доведення. Доведення. Якщо дві величини X та У розподілені за законами

X	x₁	x₂		Y	y₁	y₂
P	p₁	p₂		G	g₁	g₂

(для спрощення викладок взято лише по 2 можливих значення), тоді закон розподілу добутку X·У буде

X·Y	x₁· y₁	x₂· y₁	x₁· y₂	x₂· y₂
P·G	p₁· g₁	p₂· g₁	p₁· g₂	p₂· g₂

За формулою (6.1) одержимо математичне сподівання

M(X·Y) = y₁· g₁· (x₁· p₁ + x₂· p₂) + y₂· g₂· (x₁· p₁ + x₂· p₂) = (x₁· p₁ + x₂· p₂) · ·(y₁· g₁ + y₂· g₂) = M(X)·M(Y).

У випадку трьох випадкових величин маємо

M(X·Y· Z) = M((X·Y) ·Z) = M(X·Y) ·M(Z) = M(X) ·M(Y) ·M(Z).

Методом математичної індукції тепер не важко завершити доведення.

Аналогічно, але дещо складніше, можна довести наступну властивість.

4) Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань, тобто

M(X₁+ X₂+…+ X_n) = M(X₁) + M(X₂) +…+ M(X_n).

Приклад 2. Незалежні випадкові величини X та У розподілені так

X					Y
P	0.6	0.1	0.3		P	0.8	0.2

Знайти математичне сподівання випадкової величини X Y.

Розв’язання. Спочатку знайдемо математичні сподівання кожної з цих величин. За формулою (6.1) маємо

М(Х) = 5·0.6+2·0.1+4·0.3 = 4.4, М(У) = 8·0.8+10·0.2 = 8.4.

Випадкові величини X і У незалежні, тому згідно властивості 3 математичного сподівання одержимо

М(Х · У) = М(Х) · M(Y) = 4.4 · 8.4 = 36.96.

Приклад 3. Знайти математичне сподівання суми числа очок, які можуть з'явитися при киданні двох гральних кубиків.

Розв’язання. Позначимо кількість очок, які можуть з'явитись на першому кубику X, а на другому -У. Можливі значення цих величин 1,2,3,4,5,6 однакові, імовірність кожного з цих значень дорівнює 1/6. Тому

М(Х) = M(Y) = 1·1/6 + 2·1/6 + 3·1/6 + 4·1/6 + 5·1/6 + 6·1/6 = 7/2

Згідно властивості 4 математичного сподівання, одержимо

M(X + Y) = M(X) + M(Y) =7/2 +7/2 = 7.

Отже, математичне сподівання суми числа очок, що можуть з'явитись при киданні двох гральних кубиків, дорівнює 7.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Закони розподілу дискретних випадкових величин	\|	Середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.