Закони розподілу дискретних випадкових величин

Тема 6. Дискретна випадкова величина

Нехай випадкова дискретна величинаприймає значення x₁, x₂,…, x_n з відповідними ймовірностями р₁, р₂,…, р_n.

Задати закон розподілу такої випадкової величини - це задати рівність р_k = Р(Х = x_k), якуможна розглядати як функцію

Тому закон розподілу X можна задати аналітично, таблично, графічно. Функція розподілу для дискретної випадкової величини має вигляд

Найбільш часто використовують табличний спосіб задання ДВВ, який називають рядом розподілу і зображують у вигляді

X	x₁	x₂	…	x_n
P(X)	р₁	р₂	…	р_n

У першому рядку записані усі можливі значення А, а у другому рядку - відповідні імовірності, які мають властивість

Приклад 1.Умовами лотереї передбачено: один виграш - 100 гривень, два - 50 гривень, вісім - 10 гривень, дев’ятнадцять - 1 гривня. Знайти закон розподілу суми виграшу власником одного лотерейного білету, якщо продано 1000 білетів.

Розв’язання. Будемо шукати закон розподілу суми виграшу X у вигляді ряду розподілу. Тоді

X
Р(Х)	0.001	0.002	0.008	0.019	0.97

де р(0) = 1 - (0.001 + 0.002 + 0.008 + 0.019) = 1 - 0.03 = 0.97.

Зауваження 1. Якщо випадкова дискретна величина може приймати нескінчену кількість значень, то її ряд розподілу (таблиця) буде мати нескінчену кількість елементів у кожному рядку, причому ряд повинен бути збіжним, а його сума повинна дорівнювати одиниці.

Графічний спосіб. Візьмемо прямокутну систему координат. На осі абсцис будемо відкладати можливі значення ДВВ, а на осі ординат - відповідні значення імовірності. Одержимо точки з координатами (x₁, p₁), (x₂, p₂), …,(x_n, p_n).

Рис. 6.1.

Поєднавши ці точки прямими, одержимо графік (дивись Рис. 6.1) у вигляді многокутника розподілу випадкової дискретної величини.

Значення ДВВ, імовірність якого найбільша, називають модою. На Рис 6.1 мода – x₃.

Аналітичний спосіб задання випадкової дискретної величини базується на заданні певної функції, за якою можна знайти імовірність р відповідного значення тобто p_k = f(x_k), k = 1,2,...,n.

Вкажемо деякі найважливіші закони розподілу ДВВ та задачі, в яких вони зустрічаються.

1. Біноміальний закон розподілу. Цей закон має вигляд

, m = 0, 1, 2,…, n.

і використовується у схемі Бернуллі, тобто у випадку n незалежних повторних випробувань, в кожному з яких деяка подія з'являється з імовірністю р.

2. Закон розподілу Пуассона. ДВВ X приймає злічену множину значень (m = 0,1,2,...) з імовірностями

, (a>0).

Цей розподіл використовують у задачах статистичного контролю якості, в теорії надійності, теорії масового обслуговування, для обчислення: кількості вимог на виплату страхових сум за рік, кількості дефектів однакових виробів.

Якщо у схемі незалежних повторних випробувань n досить велике, а р або 1 - р прямує до нуля, то біноміальний розподіл апроксимує розподіл Пуассона, параметр якого а = nр, причому при р<0,1 або р > 0,9 ця апроксимація дає добрі результати незалежно від величини п.

Зауваження 2. Якщо у формулі Пуассона покласти а = λt, де - λ інтенсивність течії випадкових подій в одиницю часу, то формула прийме вигляд

, (m = 0, 1, 2,…)

3. Геометричний розподіл. Цей розподіл має вигляд

де р = Р(А) - імовірність появи події А в кожному випробуванні, q = 1- р, X - кількість випробувань до появи події А в серії незалежних повторних випробувань.

Ряд імовірностей цього розподілу буде нескінченно спадною геометричною прогресією із знаменником q, сума якої дорівнює одиниці.

Геометричний розподіл застосовують у різноманітних задачах статистичного контролю якості виробів, в теорії надійності та у страхових розрахунках.

4. Гіпергеометричний розподіл. Цей розподіл має вигляд

, m = 0, 1, 2,…, n, k ≥ n.

Він вказує імовірність появи m елементів з певною властивістю серед п елементів, взятих із сукупності N елементів, яка містить k елементів саме такої властивості.

Цей розподіл використовують у багатьох задачах статистичного контролю якості.

Зауваження 3. Якщо об'єм вибірки п малий у порівнянні з об'ємом N сукупності, тобто n/N ≤ 0.1; n/k ≤ 0.1; n/(N-k) ≤ 0.1, mo імовірності у гіпергеометричному розподілі будуть близькими до відповідних імовірностей біноміального розподілу з р = k/N.

У статистиці це означає, що розрахунки імовірностей для безповторної вибірки будуть мало відрізнятись від розрахунків імовірностей для повторної вибірки.

5. Поліноміальний розподіл. Цей розподіл має вигляд

Він застосовується тоді, коли внаслідок кожного із здійснених повторних незалежних випробувань може з'явитися s різних подій A_i з імовірністю р_і , при чому

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Тема 5. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ	\|	Математичне сподівання та його основні властивості.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.002 сек.