• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тема 5. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Для комфорту у будівлі - випадкові величини, їх розподілу закони вимагають пам'ятать: як знаходять інтеграли, похідні як треба брать.

Головні характеристики випадкових величин є основою статистики. Тому треба без лінця вивчити їх до кінця.

При дослідженні багатьох проблем виникають такі випадкові події, наслідком яких є поява деякого числа, заздалегідь невідомого. Тому такі числові значення - випадкові.

Прикладом такої події є: кількість очок, що випадає при киданні грального кубика; кількість студентів, які прийдуть на лекцію; кількість цукрового буряка, який чекають одержати з одного гектара.

Випадковою величиноюназивають таку величину, яка в наслідок випробування може прийняти лише одне числове значення, заздалегідь невідоме і обумовлене випадковими причинами.

Випадкові величини доцільно позначати великими літерами X, У, Z, а їх можливі значення - відповідними малими літерами з індексами. Наприклад,

X : х₁, х₂,, , х_n; Z : z₁, z₂,, , z_m .

Випадкові величини бувають дискретними та неперервними.

Означення 1. Дискретною випадковою величиною (ДВВ) називають таку величину, яка може приймати відокремлені ізольовані одне від одного числові значення (їх можна пронумерувати) з відповідними імовірностями.

Приклад 1.Кількість влучень у мішень при трьох пострілах буде X : 0,1,2,3. Отже, X може приймати чотири ізольовані числові значення з різними імовірностями. Тому X - дискретна випадкова величина.

Кількість викликів таксі У на диспетчерському пункті також буде дискретною випадковою величиною, але при t → ∞ значення Y також зростають, тобто їх кількість прямує до нескінченності Y : 0,1,2,..., n,…

Означення 2. Неперервною випадковою величиною (НВВ) називають величину, яка може приймати будь-яке числове значення з деякого скінченого або нескінченого інтервалу (а,b). Кількість можливих значень такої величини є нескінчена.

Приклад 2. Величина похибки, яка може бути при вимірюванні відстані; час безвідмовної роботи приладу; зріст людини; розміри деталі, яку виготовляє станок-автомат.

Приклад 3. Розглянемо випадкові величини: кількість очок, X та У, що можуть з'явитись при киданні правильного грального кубика та неправильного грального кубика, їх можливі значення

X: 1,2,3,4,5,6; У: 1,2,3,4,5,6

однакові.

Імовірність появи будь-якого значення х_k дорівнює 1/6, однакова для усіх можливих значень X, а імовірності появи можливих значень У будуть різними. Отже, випадкові величини X та У не рівні тому, що при х_k = y_k маємо P(х_k) ≠ P(y_k), k=1,2,3,4,5,6.

Таким чином, для повної характеристики випадкової величини треба вказати не тільки усі її можливі значення, але й закон, за яким знаходять імовірності кожного значення

p_k = Р(Х = х_k ) = f(x_k) або P(X) = f(X).

Означення 3. Законом розподілу випадкової величини називають таке співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм імовірностями.

У випадку дискретної випадкової величини X функціональну залежність можна задавати таблично, аналітично або графічно.

У економічних дисциплінах усі ці способи задання ДВВ мають інші назви, тому ознайомимось з ними більш детально у наступному розділі.

У випадку неперервної випадкової величини для її повної характеристики вводять інтегральну та диференціальну функції розподілу.

Означення 4. Інтегральною функцією розподілу (функцією розподілу) називають імовірність того, що випадкова величина X прийме значення, менше х.

Функцію розподілу позначають F(x). Таким чином,

Якщо НВВ X може приймати будь-яке значення з (а, b), то

Р(а < X < b) = F(b) - F(a), (5.1)

тобто імовірність прийняття величиною X значень з (а, b) дорівнює приросту функції розподілу.

Формулу (5.1) часто називають основною формулою теорії імовірностей.

Зауваження 1. Неперервна випадкова величина X, що приймає значення у проміжку (а,b), має незлічену кількість можливих значень, тому набуття X певних значень X = а або X = b буде майже неможливою подією. Це означає, що Р(Х = а) та Р(Х = b) будуть нескінченно малими величинами, які у практичних розрахунках можна не враховувати. Тому мають місце рівності

Р(а < X < b) = Р(а ≤ X < b) = Р(а<Х≤ b) = Р(а≤ Х≤ b).

Означення інтегральної функції розподілу та властивості Імовірності Р дозволяють одержати такі властивості функції розподілу

1) 0 ≤ F(x) ≤ 1;

2) F(x) - зростаюча функція, тобто F(x₂) > F(x₁), якщо x₂ > x₁.

3) F(x) = 0 при х ≤ a; F(x) = 1 при х ≥ b.

Графік функції розподілу F(x) може мати вигляд, зображений, наприклад, на Рис. 5.1.

Рис. 5.1.

Означення 5.Диференціальною функцією розподілу або щільністю імовірностей неперервної випадкової величини називають похідну першого порядку від її інтегральної функції розподілу і позначають

f(x) = F'(x). (5.2)

Назва "щільність імовірностей" випливає з рівності

Із формули (5.2) випливає, що функція розподілу F(x) є первісною для диференціальної функції розподілу f(x).

Теорема 1.Імовірність того, що неперервна випадкова величина X прийме значення з інтервалу (а, b), можна знайти за формулою

(5.3)

Доведення.Інтегральна функція розподілу F(x) - первісна для f(x), тому згідно з формулою Ньютона-Лейбніца маємо

(5.4)

Праві частини рівностей (5.1) та (5.4) рівні, тому і ліві їх частини рівні, тобто має місце рівність (5.3), яку й треба було довести.

Наслідок.Якщо диференціальна функція розподілу (щільність імовірності) f(x) відома, то інтегральну функцію розподілу F(x) можна знайти за формулою

(5.5)

Диференціальна функція розподілу НВВ X Є (а, b) має такі властивості:

1) f(x) ≥ 0 тому, що вона є похідною зростаючої функції F(x);

2) f(x)= 0 при х < а та х > b тому, що є похідною F(x) = 0 при х < а та F(x) = 1 при х > b;

3) тому, що подія (- ∞< X <+ ∞) -достовірна.

Рис. 5.2

Графік щільності імовірності f(х) називають кривою розподілу. Він може мати вигляд, зображений, наприклад, на Рис. 5.2.

Приклад 4. Випадкова величина має щільність імовірностей f(х)=. Визначити параметр а та функцію розподілу.

Розв’язання. Параметр а знайдено використовуючи властивість 3 диференціальної функції розподілу

Отже, одержали 1 = а ·π → а = 1/ π . Функцію розподілу знайдемо за формулою (5.5)

;

Приклад 5. Випадкова величина X задана функцією розподілу

F(x)=x²-4x + 4. (5.6)

Визначити область значень випадкової величини X та імовірність того, що X > 2.3.

Розв’язання. Згідно властивостям функції розподілу маємо

0 < F(x) < 1,

тому повинні виконуватись умови

0<х²-4х + 4<1.

Якщо область значень випадкової величини [а, b], то F(a) = 0 та F(b)=1. Підставимо в (5.6)замість х a та b, тоді одержимо

a²-4a + 4 = 0 → (a-2)²=0 → a = 2;

b²-4b + 4 = 1 → b²-4b + 3 = 0 → b₁=3, b₂ = 1.

Але в проміжку [a, b], b > а, тому b =3. Отже, областю значень НВВ X буде [2,3].

Тепер знайдемо імовірність P(x ≥ 2.3). Подія X < 2.3 буде протилежною, тому

Р(Х ≥ 2.3) = 1 - Р(Х <2.3) = 1- F(2.3). (5.7)

З рівності (5.6) одержуємо

F(2.3) = (2.3)² - 4 • 2.3 + 4 = 5.29 – 9.2 + 4 = 0.09.

Тепер за формулою (5.7) знаходимо Р(Х ≥ 2.3) = 1 – 0.09 = 0.91.

Читайте також:

1. Абсолютні і відносні величини
2. Абсолютні і відносні статистичні величини
3. Абсолютні, відносні та середні величини.
4. Багатовимірні випадкові величини. Система двох випадкових величин
5. Векторні і скалярні величини
6. Векторні і скалярні величини
7. Величини ліміту каси підприємства за три місяці
8. Величини.
9. Ве­личи­ни та її вла­с­ти­во­с­ті. Дискретні випадкові величини та їх розподіли
10. Видатки та заощадження як функції доходу. Автономні величини та їх чинники. Крива планових видатків.
11. Визначення величини зносу направляючих.
12. Визначення величини одноденних витрат окремих видів матеріальних цінностей (у натуральному і грошовому виразі).

Переглядів: 1227