Багатовимірні випадкові величини. Система двох випадкових величин

На одному й тому самому просторі елементарних подій W можна визначити не одну, а кілька випадкових величин. Така потреба постає, наприклад, коли досліджуваний об’єкт характеризується кількома випадковими параметрами. Так, у разі виготовлення валів такі їх параметри, як діаметр, довжина, овальність є випадковими величинами, значення яких наперед не можна передбачити. Або, скажімо, структура витрат випадково взятої окремої сім’ї на їжу, одяг, взуття, транспорт, задоволення духовних потреб також є випадковими величинами, визначеними на одному й тому самому просторі елементарних подій.

На багатовимірні випадкові величини поширюються майже без змін основні означення, які були розглянуті для одновимірної випадкової величини.

Означення.Одночасна поява внаслідок проведення експерименту n випадкових величин (X₁, X₂, …, X_n) з певною ймовірністю являє собою n-вимірну випадкову величину, яку називають також системою n випадкових величин, або n-вимірним випадковим вектором.

1. Система двох дискретних випадкових величин (X, Y) та їх числові характеристики

Законом розподілу двох дискретних випадкових величин називають перелік можливих значень Y = y_i, X = x_j та відповідних їм імовірностей спільної появи.

У табличній формі цей закон має такий вигляд:

X = x_j Y = y_i	x₁	x₂	x₃	…	x_m	p_yi
y₁	p₁₁	p₁₂	p₁₃		p_1m	p_y1
y₂	p₂₁	p₂₂	p₂₃		p_2m	p_y2
y₃	p₃₁	p₃₂	p₃₃		p_3m	p_y3
…	…	…	…	…	…	…
y_k	p_k₁	p_k₂	p_k₃	…	p_km	p_ym
p_xj	p_x₁	p_x₂	p_x₃	…	p_xm

Тут використано такі позначення

Умова нормування має такий вигляд:

(1)

2. Основні числові характеристики для випадкових величин Х, Y, що утворюють систему (Х, Y)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

3. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції та його властивості

Під час вивчення системи двох і більше випадкових величин доводиться з’ясовувати наявність зв’язку між цими величинами та його характер. З відповідною метою застосовують так званий кореляційний момент:

(8)

У разі Κ_ху = 0 зв’язок між величинами Х та Y, що належать системі (Х, Y), відсутній. Коли Κ_ху ¹ 0, то між відповідними Х і Y кореляційний зв’язок існує.

Тісноту кореляційного зв’язку характеризує коефіцієнт кореляції:

(9)

, або .

Отже, якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то Κ_ху = 0 і r_ху = 0. Рівність нулеві r_ху є необхідною, але не достатньою умовою незалежності випадкових величин.

Справді, може існувати система залежних випадкових величин, в якої коефіцієнт кореляції дорівнює нулю. Прикладом такої системи є система двох випадкових величин (X, Y), яка рівномірно розподілена всередині кола радіусом R із центром у початку координат. Дві випадкові величини Х і Y називають некорельованими, якщо r_ху = 0, і корельованими, якщо r_ху ¹ 0.

Отже, якщо Х і Y незалежні, то вони будуть і некорельованими. Але з некорельованості випадкових величин у загальному випадку не випливає їх незалежність.

Приклад 1.Задано закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин (X, Y):

Х = х_j Y = y_i	5,2	10,2	15,2	P_yi
2,4	0,1a	2a	0,9a
4,4	2a	0,2a	1,8a
6,4	1,9a	0,8a	0,3a
P_xj

Знайти а. Обчислити M (X); D (X); s (X); M (Y); D (Y); s (Y); K_ху; r_х_у; P (2,4 £ Y < 6,4; 5,2 < X £ 15,2).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Правочини з дефектами форми	\|	Розв’язання.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.