Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу.
Нехай кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена за нормальним законом, середньоквадратичне відхилення σ відоме. Треба знайти довірчий інтервал, що покриває математичне сподівання σ генеральної сукупності із заданою надійністю γ.
Згідно із властивістю нормально розподіленої випадкової величини X маємо
Замінимо X на , σ на - тоді
(10.8)
де
Використовуючи формули (10.7) та (10.8), дістанемо
(10.9)
тобто з надійністю γ довірчий інтервал
покриває невідомий параметр α. Точність оцінки буде
. (10.10)
Число t визначається з рівності
(10.11)
з використанням таблиці значень інтегральної функції Лапласа.
Зауваження 4.З формули (10.10) випливає, що при зростанні об'єму вибірки n число δ зменшується, а це означає, що точність оцінки збільшується. Коли надійність γ збільшується, функція Ф(t) зростає, згідно з її властивістю зростає t і, як наслідок, зростає δ. Отже, збільшення надійності оцінки зменшує її точність.
Знаходження об'єму вибірки.Нехай ознака X генеральної сукупності розподілена за нормальним законом з параметром σ і треба знайти об'єм вибірки n, який із заданою точністю δ та надійністю γ дозволить знайти оцінку параметра σ. Із формули (10.10) дістанемо рівність
з якої випливає
(10.12)
Для надійності γ, використовуючи (10.11) та таблицю значень інтегральної функції Лапласа, знайдемо відповідне число t.
Тепер t, δ та σ відомі, тому за формулою (10.12) можна знайти потрібний об'єм вибірки.
Зауваження.Якщо невідоме середньоквадратичне відхилення σ ознаки X генеральної сукупності, то в формулах (10.9), (10.10), (10.12) замість σ використовують середньоквадратичне відхилення вибірки σВ.