Припустимо, що нам відома функціональна залежність між випадковими величинами Y та X вигляду
Y = f(X, a1, a2, …, am)
з невідомими параметрами a1, a2, …, am.
Наприклад , можна розглядати залежність між собівартістю продукції (ознака Y) та об'ємом продукції (ознака X) деякої кількості однотипних підприємств.
Звичайно, при зростанні об'єму продукції X собівартість Y повинна спадати. Але ця залежність не є однозначною. Внаслідок різних причин при випуску однакового об'єму продукції собівартість її на різних підприємствах буде різною.
Нехай внаслідок п незалежних випробувань одержані варіанти ознак Y та X, які оформлені у статистичній таблиці вигляду
Номери випробувань
k
п
X
x1
x2
xk
xn
Y
y1
y2
yk
yn
Для знаходження оцінок параметрів функціональної залежності a1, a2, …, amза даними вибірки застосуємо метод найменших квадратів. Цей метод базується на тому, що найімовірніші значення параметрів al,a2,...,amповинні давати мінімум функції
(10.13)
Якщо функція f(xk, a1, a2, …, am) має неперервні частинні похідні відносно невідомих параметрів a1, a2, …, am , то необхідною умовою існування мінімуму функції S буде система m рівнянь і m невідомими
Знаходження функціональної залежності між випадковими величинами X та Y з використанням даних випробувань (або вибірки) називають вирівнюванням емпіричних даних вздовж кривої у = f(xk,al,a2,...,am).
Розглянемо детальніше оцінки параметрів лінійної функції опальної залежності, яка використовується найчастіше.