Приклад.

Теорема Коші (про існування і єдиність розв’язку).

Нехай функція і її частинна похідна визначені і неперервні у відкритій області площини і точка . Тоді існує єдиний розв’язок рівняння (2), який задовольняє умову

при , тобто . (4)

Ця теорема дає достатні умови існування єдиного розв’язку рівняння (2).

Умову (4) згідно з якою розв’язок набуває наперед задане значення в заданій точці , називають початковою умовою розв’язку і записують так:

або . (5)

Задача знаходження розв’язку рівняння (2), який задовольняє початкову умову (5), називається задачею Коші. З погляду геометрії розв’язати задачу Коші – це означає виділити з множини інтегральних кривих ту, яка проходить через задану точку .

Точки площини, в яких не виконуються умови теореми Коші, називаються особливими. Через кожну з таких точок проходить кілька інтегральних кривих або не проходить жодної.

Розв’язок диференціального рівняння, в кожній точці якого порушується умова єдності, називають особливим розв’язком. Графік особливого розв’язку називають особливою інтегральною кривою.

Нехай права частина диференціального рівняння (2) задовольняє в області умови теореми Коші.

Функція , яка залежить від аргументу і довільної сталої , називається загальним розв’язком рівняння (2) в області , якщо вона задовольняє дві умови:

1) функція є розв’язком рівняння при будь-якому значенні сталої з деякої множини;

2) для довільної точки можна знайти таке значення , що функція задовольняє початкову умову .

Частинним розв’язком рівняння (2) називається функція , яка утворюється із загального розв’язку при певному значенні сталої .

Якщо загальний розв’язок диференціального рівняння знайдено в неявному вигляді, тобто у вигляді рівняння , то такий розв’язок називають загальним інтегралом диференціального рівняння. Рівність у цьому випадку називають частинним інтегралом рівняння.

Довести, що при будь-якому функція є розв’язком рівняння . Знайти частинний розв’язок, що задовольняє початкову умову .

Значить дана функція є розв’язком рівняння при будь-якому значенні . Підставимо у функцію початкові умови , знайдемо , тобто . Таким чином, шуканим частинним розв’язком є функція .

2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

Рівняння виду

, (6)

де і – задані і неперервні на деякому інтервалі функції називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Права частина рівняння (6) являє собою добуток двох множників, кожен з яких є функцією лише однієї змінної. Щоб розв’язати рівняння (6), треба відокремити змінні. Для цього замінимо на , поділимо обидві частини рівняння (6) на (вважатимемо, що ) і помножимо на , тоді рівняння (6) запишеться у вигляді

, (7)

Диференціальне рівняння виду (7), в якому множник при є функцією, яка залежить лише від , а множник при є функцією, яка залежить лише від , називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

Оскільки рівняння (7) містить тотожно рівні диференціали, то відповідні невизначені інтеграли відрізняються між собою на сталу величину, тобто

Диференціальне рівняння (7) є окремим випадком рівняння виду

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Кваліфікаційна характеристика покоївки.	\|	Поняття і значення судимості.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.