Номінальна та ефективна ставка складних процентів. Поняття неперервного складного проценту та сили росту

У фінансових обчисленнях за правилом складних процентів, для врахування ефекту реінвестування, у випадках, коли протягом одного періоду часу відбувається декілька нарахувань процентів, вводять поняття ефективної та номінальної ставки дохідності.

Ставку складних процентів r, що входить у рівняння (3.1) та (3.14) називають номінальною ставкою. Так у прикладі 3.3 задекларована ставка 16 % є номінальною ставкою, а отримана фактична дохідність 17% є ефективною ставкою.

Ефективна ставка r_е визначає, яку річну ставку складних процентів належить встановити, щоб отримати такий самий фінансовий результат, як і за m-разового нарахування процентів за рік за ставкою r/т.

Отже, за однакових початкових та кінцевих сум, для визначення залежностей між номінальною та ефективною ставками складних процентів, прирівнявши відповідні множники нарощування, можна записати такий вираз:

звідси ефективна ставка складних процентів:

(3.15)

Зауважимо, що коли т > 1, то ефективна ставка більша за номінальну, причому, чим більша величина т (чим частіше нараховують проценти) тим вищою є ефективна ставка дохідності, отже, й тим швидше відбувається процес нарощування.

Якщо при нарощуванні коштів за формулою (3.14) часовий інтервал між виплатами процентів наближається до нуля, тобто проценти виплачують та реінвестують безперервно, то можна обчислити граничне значення ефективної ставки дохідності за відомої номінальної ставки дохідності.

З метою таких обчислень вводять поняття неперервного складного проценту.

Неперервна складна ставка дохідності— це така ефективна ставка дохідності, за якою проценти виплачують та реінвестують неперервно, тобто кількість періодів нарахувань процентів прямує до нескінченості.

У деяких виданнях з фінансової математики в разі неперервного нарощування процентів застосовують інший термін для опису неперервних складних ставок дохідності — силу росту.

Сила ростухарактеризує відносний приріст нарощеної суми за нескінченно малий проміжок часу. Вона може бути постійною або змінюватись в часі.

Аналізуючи граничний випадок рівняння (3.14) за умови, що кількість нарахувань т прямує до нескінченності, можна записати такий вираз стосовно множника нарощування складних процентів:

(3.16)

де е — експонента, основа натурального логарифма: е = 2,718281... Врахувавши у рівнянні (3.15) отриманий вираз (3.16), запишемо граничне значення складної неперервної ставки дохідності:

Таким чином, ефективна ставка дохідності складних процентів ніколи не перевищує величину .

У практичних розрахунках такі ставки майже не застосовують, але їх дослідження — один зі шляхів розвитку наукової складової фінансової математики.

Зазначимо також, що з урахуванням властивості (3.16), для неперервних складних процентів формула (3.14) набуде вигляду:

(3.17)

Отже, незалежно від тривалості фінансової угоди п, частоти нарахувань процентів т та номінальної ставки дохідності r, множник нарощування складних процентів ніколи не перевищуватиме величину ℓ^r^*ⁿ. Причому, у разі неперервного способу нарахування складних процентів рівняння оцінки майбутньої вартості є експоненціальною функцією, а величина майбутньої вартості не залежить від частоти нарахувань т.

Розглянувши номінальні, ефективні та неперервні ставки складних процентів, зробимо висновки стосовно їх практичного використання.

Оскільки у практиці фінансових розрахунків тривалість угод доволі часто не співпадає з цілим числом періодів (років, кварталів, місяців тощо), то задача визначення реальних (ефективних) ставок дохідності за відомих задекларованих (номінальних) ставок є одним з ключових питань фінансової математики.

Проте, більшість сучасних фінансових угод передбачає дискретне нарахування процентів, тому неперервні ставки дохідності поки що мають дуже обмежене коло застосування.

Згодом, за поступового ускладнення науково-практичних завдань, що стоять перед фінансовим менеджментом, сфера практичного застосування неперервних ставок та сил росту буде розширюватися, оскільки при цьому з'являтиметься можливість використання більш потужного математичного апарату.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Обчислення за правилом складних відсотків в умовах змін вихідних параметрів	\|	Криві прибутковості

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.