Площа в прямокутних координатах.

До розв’язування задач

Тема 18. Застосування визначеного інтеграла

Контрольні запитання

1. Яка задача приводить до поняття визначеного інтегралу. Що таке Т-розбиття?

2. Що називається визначеним інтегралом?

3. Сформулюйте і доведіть властивості визначеного інтегралу.

4. Які класи функцій є інтегровними?

5. Сформулюйте теорему про середнє.

6. Сформулюйте теорему Ньютона- Лейбніца.

7. Які методи обчислення визначеного інтегралу ви знаєте?

Мета. Навчитись розв’язувати деякі геометричні, механічні та фізичні задачі, використовуючи означений інтеграл та його властивості.

План.

1. Застосування визначеного інтегралу до розв’язування геометричних задач.

2. Застосування визначеного інтегралу до розв’язування задач фізики.

Якщо неперервна крива задана в прямокутних координатах рівнянням y=f(x) [f(x)³0], то площа криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою, двома вертикалями в точках х=а і х=b і відрізком осі абсцис а£х£b, визначається формулою:

(1)

Приклад.

Обчислити площу, обмежену кривою х=2-у-у² і віссю ординат.

Розв’язування.

Тут змінені ролі осей координат і тому шукана площа виразиться інтегралом:

де межі інтегрування у₁=-2 і у₂=1 знайдені як ординати точок перетину даної кривої з віссю ординат.

В більш загальному випадку, якщо площа S обмежена двома неперервними кривими y=f₁(x) i y=f₂(x) і двома вертикалями х=а і х=b, де f₁(x)£f₂(x) при а£х£b, будем мати:

(2)

Якщо крива задана рівняннями в параметричній формі х=j(t), у=y(t), то площа криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою, двома вертикалями, відповідними х=а і х=b, і відрізком осі ОХ, виражається інтгералом:

, (3)

де t₁ i t₂ визначаються із рівнянь а=j(t₁) і b=j(t₂) (y(t)³0 на відрізку [t₁, t₂]).

Приклад.

Знайти площу еліпса S, використовуючи його параметричне рівняння

Розв’язування.

Завдяки симетрії достатньо обчислити площу однієї чверті, а потім помножити її на 4. Вважаючи в рівнянні x=acost спочатку х=0, потім х=а, одержимо межі інтегрування і . Тому

і значить, S=pab.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Метод інтегрування розкладу	\|	Довжина дуги в прямокутних координатах.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.