• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Площа в прямокутних координатах.

До розв’язування задач

Тема 18. Застосування визначеного інтеграла

Контрольні запитання

1. Яка задача приводить до поняття визначеного інтегралу. Що таке Т-розбиття?

2. Що називається визначеним інтегралом?

3. Сформулюйте і доведіть властивості визначеного інтегралу.

4. Які класи функцій є інтегровними?

5. Сформулюйте теорему про середнє.

6. Сформулюйте теорему Ньютона- Лейбніца.

7. Які методи обчислення визначеного інтегралу ви знаєте?

Мета. Навчитись розв’язувати деякі геометричні, механічні та фізичні задачі, використовуючи означений інтеграл та його властивості.

План.

1. Застосування визначеного інтегралу до розв’язування геометричних задач.

2. Застосування визначеного інтегралу до розв’язування задач фізики.

Якщо неперервна крива задана в прямокутних координатах рівнянням y=f(x) [f(x)³0], то площа криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою, двома вертикалями в точках х=а і х=b і відрізком осі абсцис а£х£b, визначається формулою:

(1)

Приклад.

Обчислити площу, обмежену кривою х=2-у-у² і віссю ординат.

Розв’язування.

Тут змінені ролі осей координат і тому шукана площа виразиться інтегралом:

,

де межі інтегрування у₁=-2 і у₂=1 знайдені як ординати точок перетину даної кривої з віссю ординат.

В більш загальному випадку, якщо площа S обмежена двома неперервними кривими y=f₁(x) i y=f₂(x) і двома вертикалями х=а і х=b, де f₁(x)£f₂(x) при а£х£b, будем мати:

(2)

Якщо крива задана рівняннями в параметричній формі х=j(t), у=y(t), то площа криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою, двома вертикалями, відповідними х=а і х=b, і відрізком осі ОХ, виражається інтгералом:

, (3)

де t₁ i t₂ визначаються із рівнянь а=j(t₁) і b=j(t₂) (y(t)³0 на відрізку [t₁, t₂]).

Приклад.

Знайти площу еліпса S, використовуючи його параметричне рівняння

.

Розв’язування.

Завдяки симетрії достатньо обчислити площу однієї чверті, а потім помножити її на 4. Вважаючи в рівнянні x=acost спочатку х=0, потім х=а, одержимо межі інтегрування і . Тому

,

і значить, S=pab.

Читайте також:

1. Адміністративний поділ, площа і населення українських земель у складі Речі Посполитої в першій воловині ХVІІ ст.
2. Вибір площадки для будівництва.
3. Головні напруження та головні площадки.
4. Головні площадки і головні напруження
5. Довжина дуги в прямокутних координатах.
6. Напруження на похилих площадках. Умови на поверхні.
7. Площа паралелограма.
8. Площа поверхні обертання.
9. Площа природних кормових угідь.
10. Склад і методика інженерно-геологічних досліджень на стадії вибору площадки для будівництва
11. Складирование элементов стальных пролётных строений. Подготовительные работы на строительной площадке под сборку пролётных строений.

Переглядів: 636