• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тема 4. Узагальнений метод найменших квадратів

Узагальнений метод найменших квадратів (УНК) враховує інформацію про неоднаковість дисперсії. Щоб проілюструвати це, розглянемо модель лінійної регресії:

Y=ХA+u. (4.1)

де А – параметри (вектор) економетричної моделі;

Y – залежна змінна;

Х – незалежна змінна;

u – випадковий член.

Задача полягає в знаходженні оцінок елементів вектора A в моделі. Для цього використовується матриця S, за допомогою якої коригується вхідна інформація.

Оскільки S - додатно визначена матриця, то вона може бути зображена як добуток РР^Т, де матриця Р є невиродженою, тобто:

S=РР^Т, (4.2)

коли

P^-1S(P^-1)^Т=E, (4.3)

((P^-1)^Т)^-1=S^-1, (4.4)

Помноживши рівняння (4.1) ліворуч на матрицю Р^-1, дістанемо:

P^-1Y=P^-1 XA+ P^-1u. (4.5)

Позначимо У* = P^-1У; X*= P^-1X, u^*= P^-1u

Тоді модель матиме вигляд:

Y*=Х*A+u*. (4.6)

Використовуючи модель (4.6), неважко показати, що M(u^*u^*T)=s ²E,тобто модель (4.6) задовольняє умові, коли параметри моделі можна оцінити на основі МНК, яка може бути виражена:

=(X^*’X^*)^-1X^*’Y^*=(X^’S^-1X)^-1X’S^-1Y. (4.7)

Ця оцінка є незміщеною лінійною оцінкою вектора A, який має найменшу дисперсію і матрицю коваріацій:

var ()=s_u²(X^*ТX^*)^-1=s_u²(X^ТS^-1X)^-1. (4.8)

Незміщену оцінку для дисперсії s_e² можна знайти так:

(Y^*-X^*)^T(Y*-X*)/(n-k-1)=(Y-X)^TS^-1(Y-X)/(n-k-1)= u^TS^-1u /(n-k-1). (4.9)

При заданій матриці S оцінку параметрів моделі можна обчислити згідно із моделлю (4.7), а стандартну помилку - згідно з (4.8). Тому можна сконструювати звичайні критерії значущості і довірчі інтервали для параметрів a.

Визначивши залишки u= Y – Х і помноживши ліворуч на матрицю P^-1, отримаємо:

P^-1Y- P^-1X = P^-1u; або u *=Y*-X*

Звідси Y* = Х*A + u *.

Тоді Y*^TY*=(X*+u*)’(X*+u*).

Оскільки =(X*^TX*)^-1X*’Y* =(X^TS^-1X)^-1X^TS^-1Y, то

Y^TS^-1Y=^TX^TS^-1Y+uS^-1u. (4.10)

Отже, ми розбили загальну суму квадратів для Y* на суму квадратів регресії і залишкову. Згідно з цими даними дисперсійний аналіз буде виконаний для перетворених вхідних даних. Крім того, коли незалежна змінна Y* виміряна відносно початку відліку, а не у формі відхиленнявідсередньої, то необхідно визначити її середнє значення і скористатись ним для корекції загальної суми квадратів і суми квадратів регресії.

Щоб оцінити параметри моделі, коли дисперсії залишків визначаються М(ии') = s²_uS, потрібно визначити матрицю S. Спинимось на визначенні матриці S.

Оскільки явище гетероскедастичності пов'язане лише з тим, що змінюються дисперсії залишків, а коваріація між ними відсутня, то матриця S має бути діагональною, а саме:

,

.

Щоб пояснити, чому саме такий вигляд має ця матриця, потрібно визначити: за наявності гетероскедастичності для певних вихідних даних одна (або кілька) пояснювальних змінних можуть різко змінюватись від одного спостереження до іншого, тоді як залежна змінна має такі самі коливання, як і для попередніх спостережень.

Але це означає, що дисперсія залишків, яка змінюватиметься від одного спостереження до іншого (чи для групи спостережень), може бути пропорційною до величини пояснювальної змінної Х (або до її квадрата), яка зумовлює гетероскедастичність, або пропорційною до квадрата залишків.

Звідси в матриці S значення l_i можна обчислити, користуючись гіпотезами:

1. M(uu’)=s ²_u x_ij, тобто дисперсія залишків пропорційна до зміни пояснюючої змінної x_ij;

2. M(uu’)=s ²_u x²_ij, тобто зміна дисперсії пропорційна до зміни квадрата пояснюючої змінної x²_ij;

3. M (uu') = s ²_u {IuI}², тобто дисперсія залишків пропорційна до зміни квадрата залишків за модулем.

Для першої гіпотези: l_i=1/ x_ij

Для другої гіпотези: l_i=1/ x²_ij

Для третьої гіпотези: l_i ={Iu_iI}², або l_i = (a₀-a₁x_ij)², або l_i=(a₀-a₁x_i ^-1)²

Оскільки матрицяS— симетрична і додатно визначена, то приS =Р'Р, матриця Р має вигляд:

,

Читайте також:

1. D) методу мозкового штурму.
2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
3. I Метод Шеннона-Фано
4. I. Метод рiвних вiдрiзкiв.
5. VII. Нахождение общего решения методом характеристик
6. А. науковий факт, b. гіпотеза, с. метод
7. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
8. Агрегативна стійкість, коагуляція суспензій. Методи отримання.
9. АгротехнІЧНИЙ метод
10. Адаптовані й специфічні методи дослідження у журналістикознавстві
11. Адміністративні (прямі) методи регулювання.
12. Адміністративні методи - це сукупність прийомів, впливів, заснованих на використанні об'єктивних організаційних відносин між людьми та загальноорганізаційних принципів управління.

Переглядів: 1031