• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Коефіцієнт варіації

Середнє арифметичне відображає вплив на досліджувану ознаку основних причин, а середнє квадратичне - другорядних причин варіювання. Стандартне відхилення характеризує варіювання значень ознаки навколо центра розподілу, тобто навколо середнього арифметичного.

Обчислимо дисперсію і стандартне відхилення для наведеного вище прикладу, продовжуючи заповнювати таблицю. Піднесемо різниці 4-го стовпчика до квадрата і запишемо отримані результати до 6-го стовпчика. У 7-му стовпчику зафіксуємо результати множення цих різниць на відповідні частоти. Числа 7-го стовпчика додамо: Σ(х_і -)²n_і=293.

Отриману суму 293 поділимо на об’єм вибірки n=26 і знайдемо дисперсію: σ²=293:26≈11,27.

Добувши квадратний корінь з дисперсії, знайдемо середнє квадратичне відхилення: σ =(влучення).

Зауважимо, що фізичний смисл середнього квадратичного відхилення такий самий, як і середнього лінійного відхилення (тобто усереднене значення відхилення результатів у групі в цілому). Проте, оскільки ці показники обчислюються різними способами, то мають числові значення, які дещо відрізняються. Обчисливши і σ, можна замінити весь вихідний масив чисел такими його середніми характеристиками, записаними у вигляді: ± σ=7±3,4 (2.7). Цей запис містить інформацію про середній рівень можливостей групи учнів щодо влучності кидків у баскетбольний кошик та середнє розсіювання влучень навколо . Маючи такі характеристики, наприклад, для паралельних класів, їх буде досить легко порівняти як за середнім рівнем, так і за розсіюванням результатів, і зробити відповідні висновки. Упорядковуючи великі масиви чисел, одержують, перш за все, саме ці показники, оскільки вони використовуються в подальшій математико-статистичній обробці експериментального матеріалу.

Як уже відмічалося, стандартне відхилення виражається в таких самих одиницях, що й ознака. Тому, якщо потрібно порівняти між собою ступінь варіативності ознак, які виражаються в різних одиницях вимірювання, то цього вже зробити не можна, використовуючи лише стандартні відхилення. А отже, обчислюють відносну величину, яка дає можливість оцінити варіативність різних ознак.

Приклад 1. Середній результат стрибків у довжину з місця, показаний студентками I-го курсу хімічного факультету, становить 170 см, при цьому стандартне відхилення дорівнює 11,2 см. Результати човникового бігу тих самих студенток характеризуються середнім значенням 10,8 с з розсіюванням 0,3 с. Дослідника цікавить питання, який з цих показників є більш варіативним? Зрозуміло, що просте порівняння стандартних відхилень не дасть відповіді на це питання (оскільки порівнювати можна лише однойменні величини). В подібних випадках користуються відносним показником, а саме, коефіцієнтом варіації (V), який виражається у відсотках і обчислюється за формулою (2.8). Обчисливши відповідні коефіцієнти варіації, матимемо:

тобто варіативність результатів стрибків є більшою в порівнянні з варіативністю результатів човникового бігу.

Коефіцієнт варіації показує, яку частину середнє квадратичне відхилення становить від середньої арифметичної величини (у відсотках), тобто наскільки великим є відхилення по відношенню до середнього значення ознаки.

У біологічних дослідженнях вважається, що група показників, коефіцієнт варіації яких не перевищує 10%, представляє собою стабільні вимірювання, які мало відрізняються одне від одного, є однорідними й однотипними. Якщо ж коефіцієнт варіації більше 10%, то група розсіяна, неоднорідна.

У спортивних дослідженнях поріг в 10% для визначення однорідності об’єктів досить умовний. І взагалі, поняття однорідності має різний смисл в залежності від того, які саме об’єкти досліджуються. На практиці коефіцієнт варіації застосовується в основному для порівняння вибірок з однотипних генеральних сукупностей.

Окрім вище згаданих показників варіаційного ряду, існують також інші. Серед них можна назвати медіану й моду.

Медіана позначається Me ( mе ). Це - показник, що характеризує середину варіаційного ряду. Якщо всі члени ряду розмістити в порядку зростання чи спадання, то медіаною буде варіант, який займає центральне положення у випадку непарної кількості членів ряду. Якщо ж в ряду парна кількість варіантів, то медіаною буде середнє арифметичне двох центральних членів ряду. Наприклад, для ряду 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 16 медіана дорівнює (10+12):2=11.

Модою Мо називають варіант, якому відповідає найбільша частота.

Знайдемо медіану варіаційного ряду, наведеного в прикладі 1 лекції №1. На 13-й позиції стоїть варіант, що дорівнює 7, а на 14-му – варіант 8. Отже, медіана (7+8):2=7,5. Модою даного ряду є варіант із найбільшою частотою, тобто число 9.

6. Практичне застосування показників варіації. Приклади розв'язання деяких задач спортивного змісту

За допомогою середніх величин варіаційного ряду можна розв'язувати ряд практичних задач:

1)порівнювати одну й ту саму якість в одній і тій самій групі з плином часу, оцінюючи таким чином динаміку розвитку цієї якості у віковому аспекті;

2)порівнювати однорозмірні величини кількох однотипних груп досліджуваних;

3)порівнювати між собою групи досліджуваних, які тренуються за різними програмами або методиками, з метою виявлення оптимальної програми або методики;

4)проводити всі наведені вище порівняння відносно окремо взятого індивіду, маючи при цьому змогу прослідкувати динаміку його спортивних можливостей, обрати оптимальну методику спортивних тренувань і таким чином сприяти всебічній індивідуалізації спортивної діяльності досліджуваного;

5)розробляти різні спортивні норми чи стандарти, взявши за основу і σ, варіюючи в межах ± kσ, де k - деякий коефіцієнт;

6)проводити класифікацію вихідного матеріалу на групи: до першої групи відносити спортсменів, показники яких кращі за середній рівень, до другої - тих, чиї показники нижчі за середнє значення. Отримані групи можна продовжувати ділити далі аналогічним способом. Вони можуть служити основою для призначення норм, підготовки спеціальних методик, що відповідають різним групам, для оцінювання тренувальних впливів, для вдосконалення техніко-тактичної майстерності тощо;

7)і нарешті, строге співвідношення варіантів та їх частот у варіаційних рядах можна розглядати як деяку отриману на практиці закономірність розподілу вихідних даних.

Наведемо приклади розв'язання деяких задач спортивного змісту.

Приклад 2. Для перевірки спритності тих, хто бажає займатися в секції з баскетболу, було запропоновано певний маршрут для подолання бігом із веденням м'яча. У 20-ти претендентів зафіксовано час х_і (в секундах). Результати обробити і зробити висновки.

Знайдемо основні параметри варіаційного ряду: , σ², σ, V.

xi	ni	xi ni	xi-	(xi-)²	(xi-)²ni
			-11 -5 -3
	n=20

Розрахунки оформимо в таблиці. Користуючись відповідними формулами (2.2), (2.5), (2.6), (2.8), знайдемо потрібні показники варіації:

=454:20=22,7≈23(с); σ²=436:20=21,8(с); σ=≈4,67(с).

Коротка характеристика групи претендентів має такий вигляд: ± σ = 23 ± 4,67(с). Коефіцієнт варіації:

свідчить про те, що група неоднорідна. Не всі, хто вступає до секції, однаково спритні, тому є сенс розділити цю групу на дві (а може і більше) з тим, щоб мати можливість розвивати їхню спритність за різними методиками. Поділ групи виконується з урахуванням середнього арифметичного. Більш спритні ті, хто показав х_і <. Їх треба віднести до однієї групи, решту - до іншої.

За допомогою характеристик варіаційних рядів можна виконувати нормування. Як характеристику нормування доцільно брати величину ± σ. Межі інтервалу ± σ можуть представляти собою норму або стандарт певного виду. Норми і стандарти мають дуже велике значення в практиці фізичного виховання і спорту. Вони є основою для побудови модельних характеристик спортсменів, призначення норм у масових змаганнях, оцінки коректності проведення тренувального процесу і його елементів, визначення рівня фізичного розвитку дітей різного віку.

Приклад 3. Покажемо, як можна користуватися коефіцієнтом варіації при нормуванні. Часто для наближених обчислень за фактор розсіювання беруть R_max=X_max-X_min. Візьмемо нормативні вимоги для ковзанярів II розряду на дистанції 200 м. Вони складають від 22,6 с до 24,0 с. Знайдемо максимальне розсіювання R_max=24,0-22,6=1,4 с. Знайдемо середнє арифметичне цих значень: =(22,6+24,0):2=23,3(с). Отже, нормативно допускається варіативність результатів ковзанярів II розряду в межах V=(σ:)ּ100=(1,4:23,3)ּ100=6,0(%). Якщо варіативність результатів перевищувала б значення коефіцієнта варіації 6,0%, то це означало б, що спортсмен виходить за межі своєї норми, демонструючи деяку нестабільність результатів.

Нехай ковзаняр, пробігаючи 15 раз дистанцію 200 м, показав такі результати (в сек.):

Через деякий час у того самого спортсмена було зафіксовано ще 15 результатів:

Характеристики першої серії випробувань такі:=23,7(с), σ²=1,66(с²), σ=1,29(с), V=5,5%, а другої серії - такі: =24,50(с), σ²=1,12(с²), σ=1,06(с), V=4,3%. Результати в секундах в обох серіях ті самі, але кількість повторень - різна. Проте і в першому, і в другому випадках варіативність результатів спортсмена не вийшла за межі норми (6%) для ковзанярів II розряду.

Є сенс установити граничні значення коефіцієнта варіації як нормуючого фактора в більшості спортивних спеціалізацій, в антропометричних вимірюваннях, фізіологічних і медичних показаннях тощо.

Коефіцієнтом варіації як нормуючим фактором можна було б користуватися під час наукових обмежень нормативних вимог у спорті, а також розв'язувати соціально-педагогічні проблеми фізичної культури.

В лекції наведено лише деякі приклади застосування основних показників варіаційних рядів.

Запитання для самопідготовки

1. Як знайти середнє арифметичне варіаційного ряду?

2. На що вказує середнє арифметичне?

3. Чи завжди середнє арифметичне є членом варіаційного ряду?

4. З якою точністю варто знаходити середнє арифметичне аби не ускладнювати процес подальших обчислень?

5. Як обчислюється проста, або незважена, середня арифметична величина?

6. Що характеризує середнє лінійне відхилення?

7. Як обчислити середнє лінійне відхилення? Чому різниці між варіантами і середнім арифметичним беруть за модулем при знаходженні d?

8. Яка характеристика називається розмахом варіації?

9. Про що свідчить відмінність значень розмаху варіації двох груп з однаковими значеннями середнього арифметичного?

10. Що характеризує дисперсія і середнє квадратичне відхилення?

11. Як обчислити ці характеристики?

12. Як знаходиться коефіцієнт варіації і що він характеризує?

13. Коли вибіркова сукупність вважається однорідною?

14. В яких дослідженнях здебільшого використовують коефіцієнт варіації?

15. Що таке медіана і мода?

16. Перелічити практичні задачі, які розв'язуються із застосуванням показників варіації у фізичній культур.

Читайте також:

1. А середній коефіцієнт росту в такому випадку визначається як
2. А. Фінансові коефіцієнти
3. А. Фінансові коефіцієнти
4. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
5. Аналіз фінансових коефіцієнтів.
6. Безрозмірною характеристикою гідротрансформатора називається залежність коефіцієнтів пропорційності моментів насосного і турбінного коліс від його передаточного відношення.
7. Біноміальні коефіцієнти
8. Варіації факторів виробництва та оптимум товаровиробника
9. Визначення коефіцієнта оборотності активів
10. Визначення коефіцієнта чистого прибутку
11. Визначення коефіцієнтів рівнянь лінійної регресії для багатофакторної задачі
12. Визначення коефіцієнтів чотириполюсника за дослідами неробочого ходу та короткого замикання.

Переглядів: 9740