Квантова статистика

1. Поняття про квантові статистики

Квантовою статистикоюназивається статистичний метод дослідження, який застосовується до систем, що складаються з великого числа частинок і підкоряються законам квантової механіки.

На відміну від початкових положень класичної статистичної фізики квантова статистика будується на принципі нерозрізнюваності тотожних частинок: всі однакові частинки (наприклад, всі електрони в металах, всі протони в ядрах атомів) вважаються такими, що принципово не відрізняються одна від одної. Таким чином, в квантовій механіці однакові частинки втрачають свою індивідуальність.

Тотожні частинки експериментально розрізнити неможливо. Цей принцип – не просто наслідок інтерпретації вірогідності хвильової функції; він вводиться в квантову механіку як новий фундаментальний принцип.

Враховуючи фізичне значення квадрата модуля хвильової функції , принцип нерозрізнюваності тотожних частинок можна записати у вигляді

,

де і – відповідно сукупність просторових і спінових координат першої і другої частинок. Таким чином, можливі два випадки:

тобто принцип нерозрізнюваності тотожних частинок веде до певної властивості симетрії хвильової функції.

Симетрична хвильова функція – це хвильова функція, яка при зміні частинок місцями не змінює знак.

Антисиметрична хвильова функція – це хвильова функція, яка при зміні частинок місцями змінює знак.

Зміна знака хвильової функції не означає зміни стану, оскільки фізичне значення має лише квадрат модуля хвильової функції. Частинки з напівцілимспіном (наприклад, електрони, протони, нейтрони) описуютьсяантисиметричними хвильовими функціями і підкоряються статистиці Фермі – Дірака; ці частинки називають ферміонами. Частинки з нульовимабо цілочисельним спіном(наприклад, -мезони, фотони) описуються симетричними хвильовими функціямиі підкоряються статистиці Бозе – Эйнштейна; ці частинки називають бозонами. Складні частинки (наприклад, атомні ядра), складені з непарного числа ферміонів, є ферміонами (сумарний спін – напівцілий), а з парного – бозонами (сумарний спін цілий).

2. Функція розподілу Бозе – Ейнштейна

Функцією розподілу Бозе – Ейнштейнаназивається середня "заселеність" бозонами станів з даною енергією, тобто середнє число частинок в одномустані:

де – число частинок з енергією в інтервалі від до ; – число квантових станів в цьому інтервалі енергій.

Для знаходженя функції розглядається термодинамічна вірогідність Р розподілу частинок системи по квантових станах і знаходиться найвірогідніший розподіл за умови збереження числа частинок в системі і енергії системи:

Підсумовування проводиться по всіх квантових станах системи.

Застосовуючи метод невизначених множників Лагранжа при відшуканні умовного екстремуму, можна отримати такий вираз для функції розподілу Бозе — Ейнштейна:

де – середнє число частинок (бозонів) в квантовомустані з енергією ; – постійна Больцмана; Т — абсолютна температура; – хімічний потенціал, який не залежить від енергії, а визначається лише температурою і густиною числа частинок.

3. Функція розподілу Фермі – Дірака

Ця функція визначається аналогічно функція розподілу Бозе – Ейнштейна і має такий вид:

де – середнє число частинок (ферміонів) в квантовомустані з енергією ; – хімічний потенціал, який, на відміну від хімічного потенціалу, що входить в функцію розподілу Бозе – Ейнштейна , може мати додатнє значення.

Якщо , то розподіли Бозе – Ейнштейна і Фермі — Дірака переходять в класичний розподіл Максвела – Больцмана:

де

Таким чином, при високих температурах обидва "квантованих" газа ведуть себе подібно класичному газу.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
ЛЕКЦИЯ 27	\|	Поняття про виродження систем частинок, що описуються квантовими статистиками

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.