Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Лекція №15.

Тема: Поняття поверхонь ІІ порядку. Сфера.Поверхні обертання.

Мета: навчальна: сформулювати поняття поверхоні ІІ порядку.

розвивальна: формувати в студентів загально навчальні вміння: культуру мовлення, чіткість і точність думки, критичність мислення, здатність відчувати красу ідеї, методу розв'язання задачі або проблеми.

виховна: виховувати дисципліну, звичку до систематичної розумової праці.

Література:

1. Атанасян Л.С. Геометрия. Ч.1. – К.: Вища школа, 1986. – 312 с.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.1. – М.: Наука, 1986. – 356 с.

3. Білоусова В.П. Аналітична геометрія. – К.: Вища школа, 1992. – 236 с.1. Дубовик В.П., Юрик II. Вища математика: Навч. Посібник - К.: А.С.К., 2001

4. Барановська Л.В. Завдання для практичних занять з "Вищої математики": методичний посібник. - К.: Вид-во Європ. Ун-ту, 2002.

5. Міхайленко В.М., Федоренко Н.Д. Збірник прикладних задач з вищої математики. - К.: Вид-во Європ. Ун-ту, 2004.

6. Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Міхайленко В.М. Вища математика 4.1. - Вид. Техніка, 2003 р.

7. М. І. Шкіль, Т. В. Колеснік, В. М. Котлова «Вища математика у двох книгах» Книга 1, Книга 2, підручник для студентів вищих педагогічних навчальних закладів. Київ «Либідь» 2010.

План.

1. Загальне рівняння поверхні другого порядку.

2. Сфера.

3. Поверхні обертання.

4. Еліпсоїд

1. Загальне рівняння поверхні другого порядку

Поверхнею другого порядку називається поверхня, яка в деякій системі координат задається рівнянням

F(х;у,z)=0, (1)

де F(х; у; z) - многочлен другого степеня. Загальне рівняння поверхні другого порядку записується у вигляді

(2)

де а₁₁, а₂₂, а₃₃,..., а₄₄ - деякі дійсні числа, і а₁₁ + а₂₂ + а₃₃+ а₁₂ + а₁₃ + а₂₃ ≠ О (тобто всі коефіцієнти при членах другого степеня одночасно не дорівнюють нулю). При цьому покладатимемо: а_ij = а_ji, і, j = 1…4 .

Якщо перейти до іншої системи координат, то і рівняння поверхні зміниться, але воно не може змінитися настільки, щоб всі коефіцієнти при квадратах і добутках змінних стали нульовими, бо тоді отримаємо рівняння площини, яка в довільній системі координат задається лінійним рівнянням. Справедлива така теорем

Теорема 1. Перетином поверхні другого порядку з довільною площиною є лінія другого порядку або пряма.

Приклад. Визначити лінію перетину поверхні другого порядку

х² + 2у² + z² - 2ху – 4yz - 2х + у + 4z + 1 = О

з площиною ОХZ. Система координат прямокутна декартова.

Розв'язання. Шукана лінія перетину задається системою рівнянь

або

Визначимо, який вигляд має лінія, задана на площині ОХZ рівнянням

x² + z² - 2х + 4z + 1 = 0.

Виділяючи повні квадрати по кожній змінній, дістанемо

(х² - 2х + 1) -1 + ( z²+ 4z + 4) - 4 + 1 = 0;

Отже, дана лінія є коло з центром у точці (1 ; -2) і радіусом R = 2.

2. Сферою називається множина точок простору, рівновіддалених від однієї точки, що називається центром сфери, на задану відстань(радіус сфери). Рівняння сфери:

(х-а)²+(у-b)²+(z-c)²=R², або x²+y²+z²-2ax-2by-2cz +a²+b²+c²-R²=0

Рівняння сфери містить чотири незалежні параметри: координати центру і радіус. Рівняння це - другого ступеня, тому сфера - поверхня другого порядку.

Якщо перенести початок координат в центр сфери, то рівняння її прийме простіший вигляд:

х² + у² +z² = R²

З будь-якою прямою лінією сфера має дві спільні точки (дійсні або уявні); якщо обидві точки перетину зливаються, то пряма дотикається до сфери, і тоді відстань її від центру сфери рівна радіусу.

З будь-якою площиною сферична поверхня перетинається по колу (дійсному або уявному). Якщо площина знаходиться від центру на відстані, рівної радіусу, то лінія перетину перетворюється в круг нульового радіусу (одна дійсна точка); площина дотикається сфери, в ній лежать всі прямі, що дотикаються до сфери в даній точці.

Площина, дотична до сфери, в точці (x₁,y₁,z₁) має рівняння_:

(x₁-a)(x₂-a) + (y₁-b)(y₂-b) + (z₁-c)(z₂ -c) = R².

Якщо сфера віднесена до центру, то дотична площина зображається рівнянням:

xx_l + yy₁+ zz₁ = R².

3.Поверхні обертання

Нехай у деякій площині лежить пряма І і крива L. Поверхня, яка утворюється внаслідок обертання кривої L навколо прямої l, називається поверхнею обертання

При цьому пряма І називається віссю обертання, а крива L - твірною або меридіаном поверхні обертання. Кожна точка М кривої L при цьому обертається по колу, площина якого перпендикулярна до осі l, а центр знаходиться на осі І. Це коло називається паралеллю поверхні обертання.

Складемо рівняння поверхні обертання.

Виберемо прямокутну систему координат так, щоб вісь ОZ збігалася з віссю обертання І, а лінія L, яка обертається, була розміщена в площині ОYZ (рис.5). Нехай крива L у системі координат ОYZ задається рівнянням

F(у; z) = 0, (5)

а точка М(х; у; z) - довільна точка поверхні обертання. Через цю точку проведемо площину, перпендикулярну до осі ОZ. Вона перетне поверхню по колу, яке є паралеллю даної поверхні обертання. Припустимо, що це коло перетинається з лінією L у точці М₀(у₀; z₀). Оскільки точка М₀ є L, то її координати задовольняють рівняння (5):

F(y₀ ;z₀ )=0 (6)

Центр цього кола позначимо О'. О'М — радіус паралелі, тому О'М = О'М0. Але якщо точку М спроектувати на площину ОХY, то її

проекцією буде точка М'(х; у) і О'М = ОМ' = √х² + у² , а О'М₀ = ׀y₀׀

Звідси випливає, що |y₀| =

або y₀=

Підставивши одержані формули в (6),отримаємо

F( (7)

Отже, координати довільної точки М поверхні обертання задовольняють рівняння (7).

Припустимо тепер, що координати деякої точки N(x₁;y₁;z₁) задовольняють рівняння (7), тобто

F( (8)

Покажемо, що ця точка належить даній поверхні обертання. Проведемо через точку N площину, перпендикулярну до осі ОZ (рис. 6).

Припустимо, що ця площина перетинає вісь ОZ у точці О'. Побудуємо в цій площині коло з центром О' радіусом О'N. Нехай це коло перетинає площину ОYZ в точці М(₀(у₀; z₀). Тоді O^, N=

Звідси випливає, що y₀₌якщо y₀_,і y₀=-якщо y₀> 0.

Крім того, оскільки точки N і М₀ лежать у площині, паралельній до площини ОХY, то z₁ = z₀. Тоді рівність (8) запишеться так: F(y₀; z₀) = 0, звідки випливає, що точка М₀ належить меридіану, а це означає, що точка N лежить на даній поверхні обертання.

Отже, рівняння (7) - рівняння поверхні обертання.

Аналогічно можна встановити, що коли крива задана рівнянням F(у; z) = 0 у площині ОYZ і обертається навколо осі ОY, то рівняння поверхні обертання матиме вигляд F(y;

Якщо крива знаходиться у площині ОХZ, задана рівнянням F(х; z) = 0 і обертається навколо осі ОХ, то рівняння поверхні обертання

F(x;.

В результаті приходимо до такого правила складання рівняння поверхні обертання: щоб скласти рівняння поверхні обертання, необхідно в рівнянні лінії, яка обертається, залишити без змін ту змінну, яка відповідає осі обертання, а другу змінну замінити на корінь квадратний, взятий зі знаками «+» та «-», з суми квадратів цієї ж змінної і тієї змінної, яка відсутня в рівнянні кривої.

Приклад. Дано еліпс, розміщений у площині ОYZ:

Записати рівняння поверхні обертання, утвореної при обертанні цього еліпса навколо осі ОZ.

Розв'язання. За формулою (7) рівняння цієї поверхні обертання має вигляд:

Ця поверхня називається еліпсоїдом обертання.

Означення 6.1. Еліпсоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат задається рівнянням

(8)

Це рівняння називається канонічним рівнянням еліпсоїда, а система координат, відносно якої задано цей еліпсоїд, називається канонічною системою координат.

Аналізуючи рівняння (8), дослідимо основні властивості еліпсоїда, визначимо його форму і побудуємо зображення.

Не втрачаючи загальності, можна вважати, що а > 0, b > 0, с > 0.

Властивості еліпсоїда.

1. Еліпсоїд не проходить через початок координат, бо координати точки О(0; 0; 0) не задовольняють рівняння (8).

2. Еліпсоїд перетинає кожну із координатних осей у двох точках, симетричних відносно початку координат, а саме:

вісь ОХ у точках А₁(а; 0; 0) і А₂(-а; 0; 0),

вісь OY у точках В₁(0; b; 0) і В₂(0; -b; 0),

вісь OZ у точках С₁(0; 0; с) і С₂(0; 0; -с).

Ці точки називаються вершинами еліпсоїда, відрізки AА₂ = 2а, ВВ₂ = 2b, CC₂ = 2с- осями еліпсоїда, числа а, b, с - півосями еліпсоїда.

3.Еліпсоїд симетричний відносно всіх координатних площин, координатних осей і початку координат, бо всі змінні входять у його рівняння в парних степенях.

4. Із рівняння (8) випливає, що 1, тобто а,

с.

Це означає, що еліпсоїд є обмеженою поверхнею, яка міститься всередині прямокутного паралелепіпеда, обмеженого площинами х = ±а, у = ±b, z = ±с.

5.Якщо еліпсоїд перетнути площиною 2 = h (h\ < с), паралельною площині OXY, то в перетині утвориться еліпс, рівняння проекції якого на площину OXY у системі координат цієї площини має вигляд:

Розміри цього еліпса збільшуються зі зменшенням і зменшуються зі збільшенням |h|.

Аналогічне спостерігається і при перетині еліпсоїда площинами, паралельними до інших координатних площин.

Виходячи із цих властивостей можна побудувати зображення еліпсоїда

Якщо в рівнянні (8) два параметри рівні між собою, наприклад, а = b, то дістанемо поверхню обертання - еліпсоїд обертання:

Ця поверхня утворена внаслідок обертання еліпса з півосями а, с навколо осі OZ.

Якщо ж а = b = с, то із (8) матимемо:

x²+y²+z²=a².

Це рівняння сфери з центром у початку координат. Отже, сфера є частковим випадком еліпсоїда. Справедлива й така теорема.

Теорема 3. При перетині еліпсоїда довільною площиною в перерізі утворюється еліпс.

Приклад. Записати рівняння еліпсоїда, осі якого збігаються з осями координат, і який проходить через точку М(2; 0: 1) та перетинає площину OXY по еліпсу

(9)

Розв'язання. Якщо осі координат збігаються з осями еліпсоїда, то ця система координат є канонічною, тому рівняння еліпсоїда матиме вигляд:

(8)

Площина ОХУ перетинає цей еліпсоїд по еліпсу = 1 . Зіставляючи останнє рівняння із (9), матимемо: а² = 8, b²= 1. Тоді рівняння (8) набуде вигляду: = 1.

За умовою точка М(2; 0; 1) лежить на цій поверхні, тому

звідки с² = 2.

Отже, рівняння даного еліпсоїда = 1.

Відповідь. = 1.

Запитання до лекції №15.

1. Сформулюйте означення загального рівняння поверхні другого порядку.

2. Дайте означення сфери.

3. Дайте означення поверхням обертання.

4. Дайте означення еліпсоїду.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
	\|

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.01 сек.