• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Опис векторного поля

.

.

Постійний електричний струм

Розділ 1. Електростатичне поле у вакуумі

Частина 1. Електростатика і магнетизм

1.1. Електростатика. Електричний заряд та його властивості

Електростатика – розділ електродинаміки, який вивчає взаємодію нерухомих електричних зарядів. Така взаємодія здійснюється через електростатичне поле.

Електричний заряд – це фізична величина, яка визначає інтенсивність електромагнітних взаємодій. Всі елементарні частинки характеризуються масою та електричним зарядом. Сила електромагнітних взаємодій набагато більша їх гравітаційної взаємодії. Значення сили електромагнітної взаємодії частинок визначається їх електричними зарядами.

Загалом в природі відомо чотири фундаментальні типи взаємодій:

- сильна;

- електромагнітна;

- слабка;

- гравітаційна.

Кожен вид взаємодії пов’язаний з певною характеристикою частинки. Так, гравітаційна залежить від маси частинки, а електромагнітна – від її електричного заряду.

Фундаментальні властивості електричного заряду:

1. Існує в двох видах – негативний (електрон) і позитивний (протон).

2. В будь-якій електрично-ізольованій системі алгебраїчна сума зарядів не змінюється . Ця властивість виражає закон збереження електричного заряду.

3. Електричний заряд є релятивістсько-інваріантний (його величина не залежить від системи відліку, не залежить від того, рухається він чи знаходиться в стані спокою).

Для спрощення математичних розрахунків, прийнято вважати заряд не дискретним. Тоді його можна замінити фіктивним безперервним розподілом. При переході до неперервного розподілу вводиться поняття густини заряду.

Виділяють лінійну (λ,τ), поверхневу (σ) та об’ємну (ρ) густину зарядів:

;

;

Закон збереження зарядів:

Електричні заряди не створюються і не зникають, а передаються від одного тіла до іншого або перерозподіляються всередині даного тіла.

Дробових зарядів в вільному стані не існує.

1.2. Закон Кулона

Основним законом електростатики є закон Кулона (1785 р.). Цей закон показує взаємодію двох нерухомих точкових зарядів або заряджених тіл, розміри яких малі порівняно з відстанями між ними.

Взаємодію заряджених тіл Кулон вивчав за допомогою крутильних вагів. Він виміряв силу взаємодії двох заряджених кульок в залежності від величини зарядів на них та від відстані між ними. При цьому Кулон виходив з того, що при дотику до зарядженої металічної кульки такої ж самої незарядженої кульки заряд розподіляється між обома кульками порівну.

В результаті своїх дослідів Кулон прийшов до висновку, що: сила взаємодії двох нерухомих точкових зарядів пропорційна величині кожного з зарядів і обернено пропорційна квадрату відстані між ними.

Напрямок сили співпадає з прямою, що сполучає заряди. В умовах цієї взаємодії однойменні заряди відштовхуються, а різнойменні притягуються (рис.1.1).

,

k – коефіцієнт пропорційності (залежить від вибору системи одиниць)

,

Рис.1.1

де ε – діелектрична проникливість середовища, ε₀ – електростатична стала (ε₀=8,85·10^-12 Ф/м).

В системі СІ одиниця електричного заряду – Кл („кулон”).

1 Кл – електричний заряд, який проходить за 1с через поперечний переріз провідника при струмі 1А.

Рис.1.2

Таким чином, електростатичне поле – особливий вид матерії, пов’язаний з електричними зарядами і яка передає дії зарядів з одного на другий. Електричне поле не виникає при взаємодії зарядів. Будь-який заряд завжди має електричне поле. Якщо заряд нерухомий, то поле називається електростатичним. Воно не змінюється в часі і створюється лише електричними зарядами.

Електричне поле має специфічні фізичні властивості. На електричні заряди цього поля діють сили, пропорційні цим зарядам. Якщо потрібно виявити електричне поле, то в місце знаходження заряду вносять інший заряд. Для визначення властивостей поля використовують пробний одиничний позитивний заряд Q_пр, нехтуючи його власним полем. На Q_пр діє сила

.

1.3. Напруженість електричного поля

Якщо в ту саму точку поля вносити різні заряди, то на них будуть діяти різні сили, але відношення сил до величини заряду буде зберігатися сталим для цієї точки поля:

Для різних точок поля можна скласти аналогічні співвідношення.

Відношення сили до величини пробного заряду називається напруженістю електричного поля. Напруженість – силова характеристики електричного поля; відношення сили до величини пробного заряду.

,

r – відстань від заряду Q, який створює поле до точки поля, де визначається напруженість.

Напруженість показує яка сила діяла б на одиничний позитивний (пробний) заряд, вміщений в дану точку поля. Е – векторна величина; за напрям беруть напрям сили, з якою заряд Q діє на дану точку.

Лінії, дотичні до яких в кожній точці збігаються з вектором напруженості в даній точці поля називаються лініями напруженості, або силовими лініями. Силові лінії ніколи не можуть бути замкнені самі на себе – вони завжди мають початок і кінець або йдуть у нескінченність. Вони направлені від позитивного заряду до негативного (виходять з позитивного заряду і входять в негативний). Лінії напруженості ніколи не перетинаються.

Рис.1.3

Електричне поле, у всіх точках якого напруженість однакова за величиною і напрямком називається однорідним (тобто заряд рівномірно розподілений по площині). Прикладом однорідного поля може бути поле плоского конденсатора на деякій відстані від країв пластин конденсатора.

Принцип суперпозиції полів(накладання електричних полів).

Результуюча сила, що діє на заряд Q з боку інших зарядів Q₁ >0 і Q₂<0 буде дорівнювати геометричній сумі сил F₁ і F₂ з боку зарядів Q₁ і Q₂.

Якщо поле створене двома зарядами, напруженість визначається за теоремою косинусів:

.

Рис.1.4

В загальному випадку: якщо в певній точці поля різні заряджені частинки створюють поля з напруженостями Е₁, Е₂, Е₃... Е_n , то результуюча напруженість поля в точці:

1.4. Потенціал електричного поля

Потенціал – енергетична характеристика електричного поля, що показує яку роботу треба затратити, щоб перемістити заряд в дану точку поля, або перенести його з даної точки поля у нескінченність. Потенціал характеризує потенціальну енергію яку мав би позитивний одиничний заряд, вміщений в дану точку поля.

Робота по переміщенню не залежить від форми шляху, а залежить лише від розміщення початкової і кінцевої точок траєкторії. Робота по переміщенню заряду, яка виконується в електричному колі по замкненому контуру дорівнює нулю.

.

При переміщенні зарядів змінюється їх взаємне розміщення і тому робота електричних сил дорівнює зміні потенціальної енергії заряду, що переміщується.

.

Потенціальна енергія заряду в електричному полі визначається за формулою:

.

Таким чином, потенціал φ

.

Формула справедлива, якщо φ→0 при r→0.

1.5. Зв’язок між напруженістю і потенціалом

Напруженість і потенціал є різними характеристиками однієї точки поля.

Розглянемо роботу електричних сил в електричному полі при переміщенні електричного заряду з точки 1 в точку 2.

A= QE_x∆x;

A=Q (φ₁ –φ₂)= - Q∆φ.

Прирівнявши обидва вирази для роботи, дістанемо:

QE_x∆x=- Q∆φ,

Рис.1.5

.

Аналогічно, ,

.

Таким чином, Е= - gradφ.

Напруженість в будь-якій точці поля дорівнює швидкості зміни потенціалу в цій точці поля, взятій з протилежним знаком. Знак „мінус” показує, що вектор напруженості направлений в бік спадання потенціалу, тобто вектори напруженості і потенціалу протилежно направлені.

1.6. Еквіпотенціальні поверхні

Уявна поверхня, всі точки якої мають однаковий потенціал називаються еквіпотенціальними поверхнями. Їх рівняння мають вигляд:

φ(x, y ,z)=const.

При переміщенні по еквіпотенціальній поверхні на dl потенціал φ не змінюється (dφ=0). Тоді дотична до поверхні складова вектора напруженості дорівнює нулю. Отже, вектор напруженості в кожній точці направлений по нормалі до еквіпотенціальної поверхні, яка проходить через дану точку. Звідси, лінії напруженості в кожній точці ортогональні до еквіпотенціальної поверхні.

Еквіпотенціальну поверхню можна провести через будь-яку точку поля, тоді таких поверхонь може бути безліч. Проводять такі поверхні таким чином, щоб різниця потенціалів для двох сусідніх поверхонь була всюди одна і та ж сама. В такому випадку, по густині еквіпотенціальних поверхонь можна судити про величину напруженості поля. Чим густіше розташовані еквіпотенціальні поверхні, тим швидше змінюється потенціал при переміщенні вздовж нормалі до поверхні, відповідно, тим більше в даному місці і Е.

Для однорідного поля еквіпотенціальні поверхні представляють собою систему рівновіддалених одна від одної площин, перпендикулярних до напрямку поля.

Для точкового заряду еквіпотенціальні поверхні можна представити у вигляді, показаному на рис.1.5.

Рис.1.6

1.7. Електричний диполь

Електричним диполем називається система двох однакових за величиною різнойменних точкових зарядів +q і –q, відстань l між якими значно менша відстані до тих точок, в яких визначається поле системи. Пряма, яка проходить через обидва заряди називається віссю диполя; l – плече диполя.

Поле диполя має осьову симетрію. Якщо відстань між зарядами не змінюється, то такий диполь називається жорстким. Якщо довжина плеча диполя l мала порівняно з відстанню r до точки спостереження, то такий диполь називається точковим.

Основною характеристикою електричного диполя є його електричний дипольний момент р – вектор, який чисельно дорівнює добуткові заряду на плече і направлений від негативного заряду до позитивного.

.

Рис.1.7

1.8. Електричний диполь в однорідному зовнішньому електричному полі

Розглянемо дію зовнішнього електричного поля на диполь.

Якщо поле однорідне, то сили, які діють на негативний і позитивний заряди диполя є однаковими за значенням і протилежними за напрямом, тобто утворюють пару сил(рис1.8). Відповідно їх рівнодія дорівнює нулю.

Дія пари сил характеризується моментом пари:

M= qElsinα,

α – кут між вектором l і напруженістю поля Е.

, тоді

М=plsinα.

Або у векторній формі

.

Рис.1.8

Отже, в однорідному електричному полі на диполь діє пара сил, яка намагається повернути диполь так, щоб кут між векторами р і Е зменшився і диполь встановився в напрямку поля.

Існують два положення рівноваги диполя:

- диполь паралельний електричному полю (стійка рівновага);

- диполь антипаралельний йому (нестійка рівновага).

Енергія диполя в однорідному електричному полі напруженістю Е:

.

1.8. Електричний диполь в неоднорідному зовнішньому електричному полі

Якщо поле неоднорідне, то сили F₁ і F₂ за значенням є різними і їхня рівнодія не дорівнює нулю.

Знайдемо рівнодійну силу. Вважатимемо, що диполь розміщений вздовж однієї з силових ліній (рис 1.9). Тоді .

Таким чином, в неоднорідному електричному полі на диполь крім моменту пари сил, діє ще сила в напрямі зростання напруженості поля, яка прагне втягнути диполь в область сильнішого поля.

Рис. 1.9

Лекція 2

2.1. Потік вектора напруженості

Нехай рух рідини характеризується полем вектора швидкості. Об’єм рідини, який протікає за одиницю часу через деякий переріз S, називається потоком рідини через цю поверхню. Щоб знайти потік потрібно розбити поверхню на елементарні ділянки ∆S.

Розглянемо поле вектора напруженості. Будемо вважати, що густота ліній напруженості буде дорівнювати по модулю самому вектору напруженості і тоді число ліній, які будуть пронизувати елементарну площину dS буде знаходитися, як добуток EdScosα (нормаль n до поверхні буде складати кут α з вектором Е). Це і є потік dФ вектора Е через площину dS.

Рис.2.1

, (2.1)

Е_n – проекція Е на нормаль n, dS – вектор, модуль якого чисельно дорівнює dS, а напрям співпадає з напрямом нормалі до площини. Нормаль може бути направлена в обидва боки.

Якщо є поверхня довільної форми, то потік визначається інтегруванням

. (2.2)

Рис. 2.2

Потік вектора Е – алгебраїчна величина, залежить від вибору напряму нормалі n і конфігурації поля вектора напруженості.

2.2. Теорема Гауса

Запишемо теорему Гауса, яка в деяких випадках спрощує знаходження напруженості електричного поля: потік вектора напруженості через замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, які містяться всередині цієї поверхні, поділеній на ε₀:

. (2.3)

Доведення:

Розглянемо поле одного заряду Q. Нехай, даний заряд знаходиться в деякій замкненій поверхні S (рис.2.3).

Розглянемо потік вектора напруженості через деякий елемент dS.

(dω =4π).

Величина , dω – кут, який опирається на дану поверхню з вершиною в точці, де знаходиться заряд Q.

Рис.2.3

Інтегрування по площі S тотожне інтегруванню по всьому куту ω. Проінтегрувавши, отримаємо:

.

Коли електричне поле створене системою зарядів Q₁, Q₂, Q₃,... за принципом суперпозиції полів маємо:

Тоді потік вектора напруженості:

Якщо заряд знаходиться в замкненій поверхні, то він чисельно дорівнює і він дорівнює нулю, якщо знаходиться ззовні поверхні.

Нехай заряд рівномірно розподілено по об’єму V. Кожен елементарний об’єм dV утримує точковий заряд, що дорівнює ρdV і тоді в правій частині формули (3) матимемо:

. (2.4)

Інтегрування (2.4) ведемо лише по об’єму, який знаходиться всередині замкненої поверхні.

В той час, коли саме поле вектора напруженості залежить від конфігурації всіх зарядів, потік Е крізь деяку замкнену поверхню S визначається лише алгебраїчною сумою зарядів всередині S, а це означає, що якщо перемістити заряди, то поле напруженістю Е зміниться усюди і зміниться потік вектора Е через дану площу S. Але, якщо переміщення заряду відбулося без перетину поверхні S, то потік через дану поверхню залишиться незмінним, хоча саме поле напруженості може змінитися і досить суттєво.

2.3. Дивергенція вектора напруженості

Для визначення дивергенції вектора напруженості потрібно знайти диференціальну форму теореми Гауса і знайти зв’язок між об’ємною густиною заряду і зарядом, розподіленим в цьому об’ємі.

Представимо заряд в деякому об’ємі V, що охоплений замкненою поверхнею S. Внутрішній заряд Q визначається за формулою:

Q_внутр=<ρ>V,

де <ρ> − середнє по об’єму значення об’ємної густини заряду.

Підставимо цей вираз в рівняння теореми Гауса (2.3):

. (2.5)

Спрямуємо даний об’єм до нуля, стягуючи його до точки поля, яка нас цікавить. Очевидно, що при цьому <ρ> буде прямувати до значення ρ в даній точці. Отже, відношення в лівій частині (2.5) буде прямувати до .

Величину, яка є границею відношення називають дивергенцією поля напруженості Е.

. (2.6)

Аналогічно визначається дивергенція будь-якого іншого векторного поля. З (2.4) слідує, що дивергенція вектора Е є скалярною функцією координат. Щоб отримати divE потрібно проінтегрувати (2.6). Отриманий вираз буде залежати від вибору системи координат. Наприклад, в Декартовій системі координат:

. (2.7)

В диференціальній формі теорема Гауса записується у вигляді:

, або

(при V→0 в рівнянні (5) права частина прямує до ρ/ε₀, ліва частина прямує до divE).

В диференціальній формі теорема Гауса є локальною формою, divE залежить лише від ρ в тій самій точці і більше ні від чого.

В тих точках поля, де дивергенція вектора Е позитивна маємо справу з джерелами поля (там знаходяться позитивні заряди), а де вона негативна будуть стоки (негативні заряди). Таким чином, лінії напруженості починаються з джерел поля і закінчуються в місцях стоків.

2.4. Теорема Остроградського-Гауса

Знаючи дивергенцію вектора напруженості в будь-якій точці простору можемо знайти потік вектора Е через будь-яку замкнену поверхню кінцевих розмірів.

Розглянемо потік вектора швидкості для ідеальної рідини.

Добуток divV на dV дає потужність джерел рідини, які охоплені об’ємом dV, сума таких добутків дає сумарну алгебраїчну потужність джерел в усьому об’ємі V, по якому здійснюється інтегрування: .

Внаслідок того, що рідина не стискається, сумарна потужність джерел поверхні дорівнює потоку рідини, що витікає назовні через поверхню S, яка обмежує об’єм V.

Таким чином,

.

Цей вираз є математичним записом теореми Остроградського-Гауса.

Дана теорема справедлива для векторного поля будь-якої природи. І тому можемо записати:

. (2.8)

2.5. Циркуляція і ротор вектора напруженості

Уявимо замкнутий контур Г, через який рухається ідеальна рідина (рис.2.4). Заморозимо миттєво рідину у всьому об’ємі за виключенням тонкого замкненого каналу постійного перерізу, який включає контур Г. В залежності від характеру поля вектора швидкості, рідина в каналі буде або нерухомою, або буде циркулювати вздовж даного контуру.

Рис. 2.4

В якості міри цього руху візьмемо величину – добуток швидкості на довжину контуру – циркуляція вектора швидкості по контуру Г.

циркуляція V по Г=Vl.

Оскільки канал має постійний переріз, то , в той момент, коли відбулося затвердіння стінок, у кожної з частинок рідини в каналі буде погашена складова швидкості, перпендикулярна до стінки і залишиться лише складова швидкості, дотична до контуру – V_l (тангенціальна складова). З даною складовою пов’язаний елементарний імпульс dp_i, модуль якого для частинки рідини, яка знаходиться на відрізку каналу dl, має величину , де ρ – густина рідини, σ – площа поперечного перерізу каналу.

Так як рідина ідеальна, дія стінок може змінюватись лише вздовж dp_i, але не впливає на його величину. При цьому алгебраїчна сума імпульсів не може змінитися, тобто імпульс, набутий однією з частинок чисельно дорівнює імпульсу, який втрачений іншою частинкою, тобто:

,

де V – швидкість циркуляції, V_i – дотична складова швидкості рідини в об’ємі в момент часу перед затвердінням стінок каналу. Скоротивши на ρ і σ отримаємо:

циркуляція .

Аналогічно визначається циркуляція будь-якого вектора по довільному замкненому контуру. Тоді:

циркуляція .

Якщо розглядати ламінарний рух рідини в річці, то швидкість біля дна дорівнює нулю і поступово збільшується при наближенні до поверхні води і лінії вектора швидкості будуть прямолінійними. Разом з тим, в полі з вигнутими лініями циркуляція може дорівнювати нулю.

Циркуляція вектора характеризує властивості поля, які мають середні значення по поверхні. Щоб отримати середні значення в точці Р, потрібно зменшити розміри контуру Г, відповідно зменшиться циркуляція і площа контуру.

Відношення циркуляції вектора до площі S прямує до деякої границі, яка використовується для характеристики поля в точці Р.

Візьмемо контур Г, який лежить в площині, яка проходить через точку Р і розглянемо вираз:

, (2.10)

де S – площа, охоплена контуром Г. Для довільної площини дана границя не дає можливості визначити характеристику поля в точці Р, тому що залежить не лише від точки Р, а й від орієнтації контуру в просторі. Ця орієнтація може бути задана напрямом позитивної нормалі n до площі контуру Г. Позитивною вважають нормаль, яка зв’язана з напрямом обходу по контуру при інтегруванні правилом правого гвинта.

Визначаючи (2.10) в одній точці Р для різних напрямів нормалі отримаємо різні значення, причому для протилежних напрямів n вони відрізняються лише знаком. Для якогось напряму n величина (2.10) в даній точці буде максимальною. Таким чином, відношення (2.10) веде себе як проекція вектора на напрям n. Максимальне значення (2.10) визначає модуль даного вектора, а напрям позитивної нормалі, при якій досягається максимум дає напрям вектора. Даний вектор називається ротором, або вихром вектора V і позначається:

. (2.11)

Під розуміється проекція вектора на позитивну нормаль до площини S, охопленої контуром Г.

В тих місцях, де ротор відмінний від нуля, млинок рухається з тим більшою швидкістю, чим більша проекція ротора на вісь даного млинка.

Рис.2.5

2.6. Теорема Стокса

Знаючи ротор вектора швидкості в кожній точці поверхні S, можна знайти циркуляцію цього вектора по контуру Г.

Розіб’ємо поверхню на елементи dS.

За рівнянням (2.11) циркуляція швидкості по контуру, що обмежена поверхнею dS може бут представлена у вигляді:

циркуляція ,

де n – позитивна нормаль до елементу поверхні dS.

Просумуємо вирази по всій поверхні S і здійснимо граничний перехід, при якому всі значення ∆S →0. Отримаємо:

.

Дійсно, просумувавши всі , побачимо, що вони взаємознищуються.

Для ділянки ∆S, яка лежить зліва MN, ділянка при визначенні циркуляції проходить в напрямі від N до M, а для ∆S справа від NM та сама ділянка проходить в напрямі від M до N і таким чином для суміжних площадок відрізняються лише знаком. Некомпенсованими будуть лише ті , які лежать ззовні контуру Г.

Маємо:

.

Теорема Стокса для вектора напруженості:

. (2.12)

Рис. 2.6

Лекція 3

Читайте також:

1. Векторного простору
2. Властивості векторного добутку.
3. Застосування векторного добутку векторів.
4. Означення. Лінійною комбінацією векторів векторного простору називається вектор вигляду
5. Опис векторного поля
6. Основні властивості векторного добутку
7. Підпростори векторного простору
8. Створення Графічного об'єкта векторного типу

Переглядів: 846