Означення.Непорожня підмножина векторного простору називається підпростором простору , якщо воно є векторним простором відносно операцій, визначених в .
Це означає, що множина задовольняє аксіомам векторного простору, якщо додавати його елементи і множити їх на числа з поля (над яким заданий векторний простір ) так, як це визначено для елементів простору .
Теорема (критерій підпростору).Непорожня підмножина векторного простору є підпростором простору оді і тільки тоді, коли виконується наступні умови:
1) Якщо , то ;
2) Якщо , то .
Кожний підпростір будь-якого векторного простору саме по собі є векторним простором. тому всі поняття, які були введені для просторів (розмірність, базис та ін.) розповсюджуються і на підпростори.
Теорема (про розмірність підпростору). Розмірність будь-якого підпростору векторного простору не більше розмірності простору.
Приклади підпросторів.
1) Множина , яка містить тільки нульовий елемент є підпростором будь-якого векторного простору. Його називають нульовим підпростором. В нульовому підпросторі нема лінійно незалежних систем векторів. Його базис – порожня множина. Його розмірність вважають нульовою.
2) Будь-який векторний простір є своїм підпростором.
Нульовий підпростір і сам простір звичайно називають невласними підпросторами.
3) В арифметичному числовому векторному просторі множина , , векторів вигляду є підпростором.
4) Векторний простір многочленів з коефіцієнтами з поля є підпростором векторного простору функцій, неперервних на відрізку , якщо многочлени вважати заданими на відрізку .
5) У векторному просторі геометричних векторів підпросторами будуть вусі площини і всі прямі, що проходять через початок координат.
6) Лінійні оболонки є цікавим прикладом підпростору. Нехай – довільна система векторів простору . Множина всіх векторів, які є лінійними комбінаціями векторів системиє підпростором простору , який позначається і називається лінійною оболонкою векторів , або підпростором, натягнутим на вектори .