• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Векторного простору

Поняття, приклади і найпростіші властивості

У різних розділах математики лінійні операції виконуються не тільки над векторами, а й над різними іншими об’єктами: матрицями, функціями, многочленами, тощо. Можливість підходити до цих об’єктів із загальної точки зору дає поняття векторного (лінійного) простору.

Нехай – непорожня множина елементів будь-якої природи, які будемо позначати і нехай – деяке поле, елементи якого будемо позначати . Визначимо в множині операцію додавання елементів: і операцію множення елемента на число з поля : .

Означення. Множина називається векторним(лінійним) простором, якщо в визначені алгебраїчна операція додавання і операція множення на числа з поля , причому виконані наступні умови (аксіоми векторного простору):

1. – асоціативність додавання;

2. – комутативність додавання ;

3. : – існування нульового елемента ;

4. :– існування протилежного елемента;

5. – асоціативність множення на число;

6. .

7. – дистрибутивність відносно додавання чисел ;

8. – дистрибутивність відносно додавання елементів;

Елементи векторного простору називаються векторами, елемент називається нульовим вектором (нуль-вектором).

Будемо позначати векторний простір, визначений на множині через або . Якщо поле є поле дійсних чисел , то векторний простір називається дійсним векторним простором; якщо поле є полем комплексних чисел, то векторний простір називається комплексним векторним простором.

Приклади векторних просторів:

1) Множина дійсних чисел із звичайними операціями додавання і множення є дійсним векторним простором. Множина комплексних чисел відносно операцій додавання комплексних чисел і множення комплексних чисел на дійсні числа є дійсний векторний простір .

2) -вимірний арифметичний простір є векторним простором.

3) Сукупність всіх матриць розмірності з дійсними елементами утворює дійсний векторний простір відносно операцій додавання матриць і множення матриць на число.

4) Множина всіх геометричних векторів звичайного тривимірного простору з початком в точці відносно операцій додавання векторів і множення векторів на число утворює дійсний векторний простір .

Множина всіх векторів деякої площини і деякої прямої відносно операцій додавання векторів і множення векторів на число також є дійсними векторними просторами. Позначимо їх відповідно і .

5) Сукупність всіх многочленів від змінної з дійсними коефіцієнтами відносно операцій додавання многочленів і множення многочленів на число утворює дійсний векторний простір.

6) Сукупність всіх неперервних функцій дійсної змінної, які визначені на деякому проміжку , утворює дійсний векторний простір відносно операцій додавання функцій і множення функцій на число. Роль нуль-вектора відіграє функція, яка тотожно дорівнює нулю.

З означення безпосередньо випливають наступні

Найпростіші властивості векторного простору:

1) Єдиність нульового вектора. В векторному просторі існує єдиний нульовий вектор, тобто такий, що : . (аксіома 3)

2) Єдиність протилежного елемента. В векторному просторі для будь-якого вектора існує єдиний вектор такий, що . (аксіома 4)

3) Для будь-якого вектора .

4) Для будь-якого числа і .

5) Якщо добуток , то або , або .

6) Для будь-якого вектора елемент є протилежним до .

Читайте також:

1. V. Антропогенне забруднення навколоземного простору.
2. Аналіз паралельного інтерейсу з DSP-процесорами: запис даних в ЦАП, що під’єднаний до адресного простору пам’яті
3. Аналіз паралельного інтерфейсу з DSP-процесорами: читання даних з АЦП, що під’єднаний до адресного простору пам’яті
4. Бар’єри простору і часу.
5. Властивості векторного добутку.
6. Властивості простору і часу у класичній механіці
7. Вплив кольору на сприйняття простору
8. Доповнення простору.
9. Єдність матерії, руху, простору і часу.
10. Єдність матерії, руху, простору і часу.
11. Єдність матерії, руху, простору і часу.

Переглядів: 2502