• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Теорема про вкладені відрізки.

Нехай задана послідовність відрізків

, де (4)

для всіх , таких, що кожний наступний міститься в попередньому і при зростанні довжина -ного відрізка прямує до нуля, тобто . Таку послідовність називатимемо послідовністю вкладених відрізків.

Теорема. Для будь-якої послідовності вкладених відрізків існує єдина точка, яка належить усім відрізкам даної послідовності.

Доведення. З означення вкладених відрізків випливає, що їх ліві кінці утворюють неспадну послідовність

, (5)

а праві – незростаючу

. (6)

При цьому послідовність (5) обмежена зверху, а послідовність (6) обмежена знизу, оскільки і . Отже, ці послідовності мають границі. Нехай . За умовою , а тому

.

Отже, . Покладемо . Тоді для всіх , тобто точка належить усім відрізкам (4).

Покажемо, що така точка єдина. Припустимо, що існує точка , відмінна від точки і така, що належить усім відрізкам (4). Тоді для будь-якого повинна виконуватися нерівність , з якої випливає , що , що суперечить умові.

Зазначимо, що теорема не справджується, якщо замість відрізків розглядати інтервали , наприклад для послідовності вкладених інтервалів

(6)

яку б точку з інтервалу не взяти, вона не буде належати всім інтервалам (6).

ЛЕКЦІЯ 8

13. Теорема про вкладені відрізки.

14. Підпослідовність числової послідовності.

15. Теорема Больцано - Вейєрштрасса.

16. Критерій Коші збіжності числової послідовності.

Читайте також:

1. В. Друга теорема про розклад.
2. Вкладені запити.
3. Вкладені цикли
4. Друга теорема Вейєрштрасса
5. Інтегральна теорема Лапласа
6. Локальна теорема Лапласа
7. Магнітний потік. Теорема Гауса для магнітного поля
8. Момент інерції. Теорема Гюйгенса-Штейнера
9. Напряженность поля. Теорема Гаусса
10. Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій
11. Опукле програмування. Необхідні та достатні умови існування сідлової точки. Теорема Куна-Такера.
12. Основна теорема арифметики цілих невід’ємних чисел.

Переглядів: 4134