• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Основна теорема арифметики цілих невід’ємних чисел.

5. Основну теорему арифметики називають також теоремою про існування та єдиність розкладу будь-якого натурального числа на добуток простих множників. Ця теорема використовувалась ще у стародавній Греції, але була сформульована і доведена видатним німецьким математиком К.Гауссом у 1801 році.

Теорема: будь-яке, більше за одиницю, натуральне число а, або просте, або може бути однозначно розкладене в добуток простих чисел з точністю до порядку розміщення співмножників.

Доведення: доведення складається з двох частин. У першій частині доведемо існування такого розкладу. Якщо аєN і a>1, то можливі два випадки : а) число а – просте, тоді розклад існує; б) число а – складене, тоді воно має найменший простий дільник. Нехай це буде число р₁. Виходячи із цього, маємо ар₁ і а=р₁b, де bєN, причому число 1<р₁< b.

Число b може бути або простим, або складеним. Якщо число b – просте, то ми вже можемо представити число а у вигляді добутку двох простих чисел рb, тобто розклад існує. Якщо b – складене число, то воно має простий дільник. Нехай це буде число р₂. Виходячи із цього, маємо ар₂ і а=р₁р₂с, де сєN, причому число 1<р₂<с. Отже, а=р₁·р₂·с. Знову число с може бути або простим, або складеним. Якщо число с – просте, то число а буде представлятися у вигляді добутку трьох простих чисел. Якщо число c – складене, то ми одержимо ще один простий дільник р₃. Оскільки с< b<а, то цей процес завжди буде закінчуватися, а тому завжди буде існувати розклад числа а у вигляді добутку простих множників (І).

Не виключеним є випадок, коли деякий із множників в розкладі (1) повторюється, а тому в загальному випадку розклад числа на прості множники записують так: (ІІ). Розклад (ІІ) називається канонічним розкладом натурального числа а у добуток простих множників. В цьому розкладі р₁, р₂, р₃,...,р_k – прості множники, розміщені в порядку зростання; a₁, a₂, a₃,...,a_k– це натуральні числа, які показують, скільки разів повторюється той чи інший множник. Існування доведено.

У другій частині доведемо єдиність такого розкладу методом від супротивного, припустивши, що існує два різних розклади у вигляді (І), тобто а=р₁·р₂·р₃·…·р_к (ІІ) і а=q₁·q₂·q₃·…·q_n (III). Врахуємо, що р₁<р₂<р₃<…<р_к і q₁<q₂<q₃<…<q_n. У даних розкладах р_і і q_і – різні, але серед них будуть однакові. Для визначеності припустимо, що p₁¹q₁ i p₁<q₁.

Утворимо нове число b=p₁·q₂·q₃·…·q_n (IV). Легко бачити, що число а в записі (1) ділиться націло на p₁. Оскільки , то . Використовуючи записи (III) і (IV), винесемо добуток q₂·q₃·…·q_n за дужки: (a-b)=(q₁–p₁)·q₂·q₃·...·q_n. Ми показали, що вираз . Оскільки р₁ - просте число, то вираз ((q₁-p₁) q₂· q₃· q_n)p₁. Числа q₂, q_3,…q_n - прості і жодне із них не може ділитися на р₁. Тоді на p₁ повинна ділитися різниця (q₁–p₁)р₁. Разом з тим, оскільки р₁р₁, то , бо p₁¹q₁ і ці числа прості. Отже, для того, щоб (q₁–p₁)р₁ потрібно, щоб q₁-p₁=0, тоді q₁=p₁. Ми прийшли до суперечності із вибором p₁ і q₁. Ця суперечність говорить, що наше припущення про неєдиність розкладу було хибним. Отже, якщо розклад існує, то він єдиний. Теорема доведена повністю.

Доведена теорема є теоретичною основою представлення будь-якого натурального числа у вигляді добутку простих множників. Покажемо це на прикладі такої вправи: „Представити число 1224 у канонічному розкладі, тобто розкласти в добуток простих множників”.

Розв’язання:

Читайте також:

1. II Основна частина
2. II Основна частина
3. II Основна частина
4. II. Основна частина
5. II. Основна частина
6. II. Основна частина ЗАНЯТТЯ
7. В. Друга теорема про розклад.
8. Введення чисел.
9. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
10. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
11. Відношення порядку на множині дійсних чисел.
12. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.

Переглядів: 3229