Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Основна теорема арифметики цілих невід’ємних чисел.

5. Основну теорему арифметики називають також теоремою про існування та єдиність розкладу будь-якого натурального числа на добуток простих множників. Ця теорема використовувалась ще у стародавній Греції, але була сформульована і доведена видатним німецьким математиком К.Гауссом у 1801 році.

Теорема: будь-яке, більше за одиницю, натуральне число а, або просте, або може бути однозначно розкладене в добуток простих чисел з точністю до порядку розміщення співмножників.

Доведення: доведення складається з двох частин. У першій частині доведемо існування такого розкладу. Якщо аєN і a>1, то можливі два випадки : а) число а – просте, тоді розклад існує; б) число а – складене, тоді воно має найменший простий дільник. Нехай це буде число р1. Виходячи із цього, маємо ар1 і а=р1b, де bєN, причому число 1<р1< b.

Число b може бути або простим, або складеним. Якщо число b – просте, то ми вже можемо представити число а у вигляді добутку двох простих чисел рb, тобто розклад існує. Якщо b – складене число, то воно має простий дільник. Нехай це буде число р2. Виходячи із цього, маємо ар2 і а=р1р2с, де сєN, причому число 1<р2. Отже, а=р1·р2·с. Знову число с може бути або простим, або складеним. Якщо число с – просте, то число а буде представлятися у вигляді добутку трьох простих чисел. Якщо число c – складене, то ми одержимо ще один простий дільник р3. Оскільки с< b<а, то цей процес завжди буде закінчуватися, а тому завжди буде існувати розклад числа а у вигляді добутку простих множників (І).

Не виключеним є випадок, коли деякий із множників в розкладі (1) повторюється, а тому в загальному випадку розклад числа на прості множники записують так: (ІІ). Розклад (ІІ) називається канонічним розкладом натурального числа а у добуток простих множників. В цьому розкладі р1, р2, р3,...,рk – прості множники, розміщені в порядку зростання; a1, a2, a3,...,ak– це натуральні числа, які показують, скільки разів повторюється той чи інший множник. Існування доведено.

У другій частині доведемо єдиність такого розкладу методом від супротивного, припустивши, що існує два різних розклади у вигляді (І), тобто а=р1·р2·р3·…·рк (ІІ) і а=q1·q2·q3·…·qn (III). Врахуємо, що р123<…<рк і q1<q2<q3<…<qn. У даних розкладах рі і qі – різні, але серед них будуть однакові. Для визначеності припустимо, що p1¹q1 i p1<q1.

Утворимо нове число b=p1·q2·q3·…·qn (IV). Легко бачити, що число а в записі (1) ділиться націло на p1. Оскільки , то . Використовуючи записи (III) і (IV), винесемо добуток q2·q3·…·qn за дужки: (a-b)=(q1–p1)·q2·q3·...·qn. Ми показали, що вираз . Оскільки р1 - просте число, то вираз ((q1-p1) q2· q3· qn)p1. Числа q2, q3,…qn - прості і жодне із них не може ділитися на р1. Тоді на p1 повинна ділитися різниця (q1–p1)р1. Разом з тим, оскільки р1р1, то , бо p1¹q1 і ці числа прості. Отже, для того, щоб (q1–p1)р1 потрібно, щоб q1-p1=0, тоді q1=p1. Ми прийшли до суперечності із вибором p1 і q1. Ця суперечність говорить, що наше припущення про неєдиність розкладу було хибним. Отже, якщо розклад існує, то він єдиний. Теорема доведена повністю.

Доведена теорема є теоретичною основою представлення будь-якого натурального числа у вигляді добутку простих множників. Покажемо це на прикладі такої вправи: „Представити число 1224 у канонічному розкладі, тобто розкласти в добуток простих множників”.

Розв’язання:

 
1224=23·32·17

Читайте також:

  1. II Основна частина
  2. II Основна частина
  3. II Основна частина
  4. II. Основна частина
  5. II. Основна частина
  6. II. Основна частина ЗАНЯТТЯ
  7. В. Друга теорема про розклад.
  8. Введення чисел.
  9. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
  10. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
  11. Відношення порядку на множині дійсних чисел.
  12. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.




Переглядів: 3137

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Прості і складені числа. Нескінченність множини простих чисел. Решето Ератосфена. | Обчислення НСД і НСК способом канонічного розкладу на прості множники та за алгоритмом Евкліда.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.006 сек.