• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Прямолінійні коливання матеріальної точки

Механічні рухи, які періодично повторюються, називаються механічними коливаннями. На матеріальну точку можуть діяти поновлююча сила, яка намагається повернути точку в положення рівноваги, сила опору руху, яка залежить від швидкості точки, і збурююча сила, задана функцією часу.

Залежно від комбінації цих сил розглянемо три види коливального руху матеріальної точки : вільні коливання під дією тільки лінійної поновлюючої сили, згасаючі коливання під дією поновлюючої сили й сили опору, що залежить від швидкості, й вимушені коливання під дією поновлюючої сили і збурюючої сили, яка змінюється за гармонійним законом.

Вільні (власні коливання)

Вільними (власними) коливаннями матеріальної точки називають її коливання під дією сил, зумовлених початковими умовами: відхилення точки від положення рівноваги або надання їй початкових швидкостей.

Рис. 8.3

Розглянемо прямолінійний рух матеріальної точки М масою m під дією тільки сили , спрямованої до нерухомого центра О і пропорційної відстані точки М від центра О: (лінійна залежність) (рис. 8.3).

Сила намагається повернути точку М у положення рівноваги О, де , тому сила називається поновлюючою силою. Прикладом такої сили є сила пружності пружини.

Визначити закон руху точки М, тобто закон зміни координати х за часом.

Запишемо диференційне рівняння руху точки за часом у проекції на вісь х:

; , або ,

; ,

де , ‑ колова (власна) частота коливань матеріальної точки масою m, вимірюється в рад/с; с – коефіцієнт жорсткості (пружності) пружини, що чисельно дорівнює силі, яку необхідно докласти до пружини, щоб змінити її довжину на одиницю (вимірюється в н/м).

Закон коливань точки М має вигляд (рішення диференційного рівняння коливань):

, ,

де А і В – постійні інтегрування, що визначаються з початкових умов.

Початкові умови: при t=0; x=x; .

Враховуючі початкові умови, маємо: ; .

Остаточно закон коливань точки М має вигляд

.

Якщо замість постійних інтегрування А і В, ввести постійні a і так, щоб , , отримаємо закон коливань у вигляді ,

де і також визначаються з початкових умов.

При t=0

, .

Тоді ‑ амплітуда коливань, що дорівнює найбільшому відхиленню точки М від центра D і залежить від початкових умов,

,

‑ початкова фаза коливань, яка також залежить від початкових умов.

Розглянутий прямолінійний рух матеріальної точки М масою m під дією сили , величина якої пропорційна відхиленню точки від положення статичної рівноваги, є гармонійний коливальний рух з власною коловою частотою періоди .

Період коливань Т – проміжок часу між двома послідовними проходженнями точки через положення статичної рівноваги в певному фіксованому напрямку.

Колова частота власних коливань К і їх період Т не залежать від початкових умов і амплітуди коливань а. Коли одночасно початкові умови дорівнюють нулю , то х=0, тобто вільні(власні) коливання не виникають.

Вплив сталої сили на вільні коливання

Розглянемо на прикладі коливання вантажу масою m, підвішеного за допомогою пружини жорсткості С до нерухомої площини, вздовж осі ОХ (рис. 8.4).

На точку М (вантаж вагою Р=mg) діє сила пружності пружини і сила ваги (стала сила).

Точка О – це початок осі ОХ, спрямованої в бік дії сили , ‑ довжина пружини в недеформованому стані, х – поточна координата вантажу при русі, ‑ статична деформація пружини під дією вантажу.

Рис. 8.4

Точка О – це точка статичної рівноваги, де сила Р врівноважена силою пружності пружини

; .

При русі сила пружності пружини в проекції на вісь ОХ , .

Диференційне рівняння руху точки М в проекції на вісь ОХ має вигляд

,

або ,

.

Закон коливання вантажу (рішення диференційного рівняння руху) під дією сталою сили та лінійної поновлюючої сили в цьому випадку має вигляд , як і у випадку дії тільки поновлюючої сили (рис 8.5).

Рис. 8.5

Стала сила не змінює характеру коливань (за законом синуса або косинуса), зміщуючи центр коливань у бік дії сталої сили вздовж осі ОХ на величину статичної деформації .

, , .

Вплив сили опору, що лінійно залежить від швидкості,

на вільні коливання матеріальної точки (загасаючі коливання)

Рис. 8.6

Матеріальна точка М (вантаж масою m) рухається під дією сили тяжіння у в’язкому середовищі (рідина або газ), при русі в якій виникає сила опору, пропорційна першому ступеню швидкості. Таку силу опору називають силою в’язкого тертя: (знак “-“ показує, що сила спрямована протилежно ). Таким чином, на точку М при русі діють поновлююча сила і сила опору (рис 8.6).

Диференційне рівняння руху точки (вантажу) має вигляд

,

або ,

або ,

або ,

де ‑ частота власних коливань (колова);

‑ відносний коефіцієнт демпфірування, що має розмірність колової частоти k коливань ([n] = рад/c).

Закон коливання вантажу (рішення диференційного рівняння) залежить від співвідношення параметрів k і n.

1. Закон коливання вантажу у випадку малого опору n<k має вигляд

,

або ,

де постійні інтегрування визначаються, як і раніше, з початкових умов,

‑ частота згасаючих коливань,

‑ максимальне відхилення точки від положення рівноваги,

‑ початкова фаза.

Коливання, які відбуваються за цим законом, називаються згасаючими, тому що величина за перебігом часу, завдяки множнику ,зменшується, прямуючи до нуля (рис. 8.7).

Рис. 8.7

Періодом згасаючих коливань Т₁ називають проміжок часу між двома послідовними проходженнями точки через положення статичної рівноваги в певному фіксованому напрямку:

.

Звідси видно, що період згасаючих коливань більший за період власних коливань Т₁>T. Опір середовища, що пропорційний швидкості в першому ступені, збільшує період коливань.

Співвідношення називають декрементом загасання, або фактором загасання.

Амплітуда згасаючих коливань спадає за геометричною прогресією.

2. При рішення диференційного рівняння руху: .

Рис. 8.8

Рух точки буде аперіодичним згасаючим, не буде коливальним і за перебігом часу буде спрямовуватися до нуля (при ). Рух точки залежить від початкових умов (рис. 8.8). 3. При n > k, коли опір великий по рівнянно з поновлюючою силою, рішення диференційного рівняння руху має вигляд: , де .

Рух точки в цьому випадку також не є коливальним і вона під дією наповнюючої сили поступово (асимптотично) буде спрямовуватися до стану рівноваги х=0. Рух точки також залежить від початкових умов і є аперіодичним (рис 8.9).

Рис. 8.9

Читайте також:

1. АВТОКОЛИВАННЯ
2. Алгебраїчний спосіб визначення точки беззбитковості
3. Аналіз точки беззбитковості
4. Видалення характерної точки
5. Види матеріальної відповідальності
6. Види матеріальної відповідальності. Обмежена матеріальна відповідальність робітників і службовців
7. Визначення точки
8. Визначення точки беззбитковості
9. Визначення точки беззбитковості.
10. Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.
11. Вимушені електромагнітні коливання
12. Вимушені коливання

Переглядів: 2158